0.999999999・・・=1

『0.999999・・・=1』を証明する方法はいくつかあります。
ということは、『0.999999・・・=1』は正しいということですね。
なんかおかしくないですか。0.9999999・・・は明らかに1より小さいと思います。

ちなみに証明方法の例としては、
１÷３=0.33333333・・・
両辺に3を掛けると
１÷３×３=0.999999・・・
左辺＝1＝右辺＝0.9999999・・・

No.6 回答者： ohbacomeon 回答日時： 2008/10/25 22:48

＞なんかおかしくないですか。

そのように感じる理由は、私なりに考えてみると
"1"というのは、完全で、正確な表現であるのに比べて、
"0.999999・・・"というのは、数学的に正確な表現ではないからではないか
と思います。
ある人たちは、0.999999・・・とは『初項9/10、公比1/10の無限等比級数の和』であるから、それが1になるというのは明らかだということになります。
ですが、0.999999・・・が無限等比級数と結びつけることに違和感を感じる、というか、両者は同じものだとは考えられない人もいます。
それは・・・という表現の持つあいまいさによるものだと考えます。
数学的には、"・・・"というのは『無限に』という意味があるのかもしれませんが、人が0.999999・・・と表現する場合、必ずしも『無限』ということを(正しく)考えているとは限りません。
これを99.9999・・・％と言い換えてみると判りやすいでしう。
そこには100%と言い切れない不確定要素が意識されており、限りなく100に近いけれど、『決して100ではない』という意識が反映されています。
ですから、0.999999・・・と書かれたときに、これを限りなく1に近いけれど、『1ではない数』だと解釈してしまうことは、誤りだとは断言できないのです。
数学的解釈と言語的解釈が一致しない、ということかもしれません。
だから
＞0.9999999・・・は明らかに1より小さいと思います。
と感じることはおかしくないのです。
そこに0.999999・・・=1といわれてしまうと、1ではないはずのものが1だということになるので『なんかおかしくないですか』となるのは当然です。

私は0.999999…という曖昧さを含んだものを、１という正確な表現と等号で繋げてしまうということがそもそも誤りだと考えています。
これが、この質問が繰り返されることの原因でしょう。

この議論を出来るだけ正しく表現しようとすると
『小数点以下の各位にすべて9が並ぶ循環（十進）小数 』は、書き表そうとすると0.999999・・・(・・・は無限に続くという意味)となり、正確に表現することができない。しかし、これは『初項9/10、公比1/10の無限等比級数の和』と解釈することができ、その値は1となる。すなわち0.999999・・・のように書き表そうとした"数"は、実は1であり、正確に表現することができる。
ということになるのではないか、と考えます。
私はこのように理解することで、自分の中でこの問題を決着させました。
上記の0.999999・・・というのを、ただの記号だと見做してしまうほうが判りやすいかもしれません。例えばＡという記号に置き換えてしまえば、Ａ＝１だという議論をしているに過ぎないことがわかるでしょう。
つまりは0.999999・・・という表現に惑わされているだけなのです。
議論の中身は１＝１だということなのです。

No.5 回答者： sanori 回答日時： 2008/10/25 22:24

こんばんは。

＞＞＞なんかおかしくないですか。0.9999999・・・は明らかに1より小さいと思います。

いえ、全然おかしくないです。

それがおかしいならば、
１／３　＝　０．３３３３３・・・
も
１／９　＝　０．１１１１１・・・
も
１／７　＝　０．１４２８５７１４２８５７１４・・・
おかしいということになります。

こういう詳しい記事がありますから、参考にされるとよいでしょう。
http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...

そして、この件は、このＱ＆Ａサイトで過去に（見飽きるほど）頻繁に議論されています。
私自身も回答したことがあります。
この場所では、過去の質問を調べて、それでも解決しない場合に新規の質問をするのがマナーとされていますから、
まずは、それをご覧になってみては。
http://oshiete.goo.ne.jp/search_goo/?status=sele …


以上、ご参考になりましたら。

No.4 回答者： R_Earl 回答日時： 2008/10/25 21:59

> ちなみに証明方法の例としては、

> １÷３=0.33333333・・・

そもそも、本当に1 ÷ 3 = 0.333…なんでしょうか？

質問者さんは「0.9999999・・・は明らかに1より小さい」と思っているのに、
1 ÷ 3 = 0.33333333・・・は認めているのでしょうか。

「0.9999999・・・は明らかに1より小さい」という主張をするのであれば、
こういった主張をすることもできるはずです。

～～ 主張始まり ～～
1 ÷ 3はいつまでたっても割りきれず、無理矢理計算すると0.333…と
3がずっと続いてしまう。
なので0.333…は「1 ÷ 3の計算途中の段階」だから、0.333…は1 ÷ 3よりも明らかに小さい。
～～ 主張終わり ～～

更に、次のようにも主張できるはずです。

～～ 主張始まり ～～
0.333…は1÷3よりも小さいので、1 = 0.999…の証明方法の1行目の
「１÷３=0.33333333・・・」が既に正しくない。
よってこの証明方法は間違いである。
～～ 主張終わり ～～

この主張は『1 ÷ 3 ≠ 0.333…である』という前提から得られる結論です。
『1 ÷ 3 = 0.333…である』と考えているなら、質問者さんが挙げた証明方法は
正しいという結論が得られます。

それから、私は最初に『そもそも、本当に1 ÷ 3 = 0.333…なんでしょうか？』と書きましたが、
これは別に「1 ÷ 3 = 0.333…は正しくない」と言っているわけではありません。
ただの問題提起です。

No.3 回答者： hugen 回答日時： 2008/10/25 21:55

0.9999999・・・は明らかに1より小さい

と言うなら
0.333333・・・も1/3=1÷3より小さい。
0.999999・・・=1　　がおかしいなら
0.333333・・・＝1/3　　もおかしいぞ。

No.2 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/10/25 21:07

>0.9999999・・・は明らかに1より小さいと思います。

どのように「明らか」なのかを補足にどうぞ。

No.1 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2008/10/25 20:50

＞0.9999999・・・は明らかに1より小さいと思います。

1だと証明しながら、「明らかに1より小さい」とはこれいかに？