数学Ｂ 数列-数列の和

どう計算していいものか困っています。教えてください。

次の数列{An}の一般項を求めよ。また、初項から第ｎ項までの和を求めよ。
1, 2+3, 3+4+5. 4+5+6+7, 5+6+7+8+9, 6+7+8+9+10+11,・・・・・・・・

よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： R_Earl 回答日時： 2008/11/19 23:03

No.1ですが、最初の方に書いた数列において第3項が抜けていました。

正しくはこうです。

1, 2+3, 3+4+5. 4+5+6+7, 5+6+7+8+9, 6+7+8+9+10+11,・・・・・・・・

↓

1, (1+2+3)-(1), (1+2+3+4+5)-(1+2), (1+2+3+4+5+6+7)-(1+2+3), (1+2+3+4+5+6+7+8+9)-(1+2+3+4), (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11)-(1+2+3+4+5), ……

また、数列の第n項を

(初項1、公差1の等差数列の第2n - 1項までの和) - (初項1、公差1の等差数列の第n - 1項までの和)

と書きましたが、よくよく考えたら数列を

1, 2+3, 3+4+5. 4+5+6+7, 5+6+7+8+9, 6+7+8+9+10+11,・・・・・・・・

↓

(1)-(0), (1+2+3)-(0+1), (1+2+3+4+5)-(0+1+2), (1+2+3+4+5+6+7)-(0+1+2+3), (1+2+3+4+5+6+7+8+9)-(0+1+2+3+4), (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11)-(0+1+2+3+4+5), ……

と見なして、数列の第n項を

(初項1、公差1の等差数列の第2n - 1項までの和) - (初項0、公差1の等差数列の第n項までの和)

と見なした方が計算が楽かもしれません。
これならn = 1の場合を別に検証する必要はないです。

この回答へのお礼

なるほど、とても考えやすいです。考え方がよくわかるのでとても助かりました。
ありがとうございます。

お礼日時：2008/11/19 23:27

No.5 回答者： KitCut-100 回答日時： 2008/11/19 23:27

第n項にはn個の数値があります。

これを下記のように変形します。
1 = 0+1
2+3 = (1+1) +(1+2) = 1 x 2 +81+2)
3+4+5 = (2+2+2)+(1+2+3) = 2 x 3 +(1+2+3)
4+5+6+7 = (3+3+3+3)+(1+2+3+4) = 3 x 4 +(1+2+3+4)

また Σ k=n(n+1)/2 であるｋとに注意すると
第n項は (n-1)n +n(n+1)/2 = (3n^2-n)/2 となります。

また初項から第n項までの項の和は
Σ k^2= n(n+1)(2n+1)/6 であることを利用すると

Σ (3k^2-k)/2 = n^2(n+1)/2

となります。

この回答へのお礼

わかりやすい説明ありがとうございます。
計算の流れ、考え方が理解できました。

お礼日時：2008/11/19 23:32

No.3 回答者： info22 回答日時： 2008/11/19 23:01

#2です。

補足します。

Sn=(1/2)(n+1)n^2　(n≧1)
となりますので答え合わせにどうぞ。

正しい結果に辿り着けない場合は、そこまでの解答の途中計算を補足に
書いて下さい。チェックしてあげます。

No.2 回答者： info22 回答日時： 2008/11/19 22:51

An=n+…+(2n-1)=n(3n-1)/2

Sn=Σ[k=1,n]Ak
=(3/2)Σ[k=1,n]n^2 - (1/2)Σ[k=1,n]n

あとはできますね？

できないなら、できるところまでの解答を補足に書いて質問して下さい。

この回答へのお礼

和の公式の使い方がおかげでわかりました。ありがとうございます。
答えも出せました。助かりました。

お礼日時：2008/11/19 23:29

No.1 回答者： R_Earl 回答日時： 2008/11/19 22:44

数列の見方を変えてみます。

1, 2+3, 3+4+5. 4+5+6+7, 5+6+7+8+9, 6+7+8+9+10+11,・・・・・・・・

↓

1, (1+2+3)-(1), (1+2+3+4+5+6+7)-(1+2+3), (1+2+3+4+5+6+7+8+9)-(1+2+3+4), (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11)-(1+2+3+4+5), ……

よってこの数列の第n項は、

(初項1、公差1の等差数列の第2n - 1項までの和) - (初項1、公差1の等差数列の第n - 1項までの和)

となっています。
あとはそれを式にするだけです(n = 1の場合については別に検証する必要がありますが)。