マクローリンの定理でのθが含まれるRn(x)の扱いについて

新年早々の質問ですが、よろしくお願いします。
テイラーの定理では、↓のようにRn(x)にθが含まれていますが、
a=0のとき、「マクローリンの定理」と呼ぶと教科書にありました。

f(x)=f(a)+(1/1!)*f'(a)(x-a)+(1/2!)*f''(a)(x-a)^2+…+{1/(n-1)!}f^(n-1)(a)(x-a)^(n-1)+Rn(x)
Rn(x)=(1/n!)f^(n)(a+θ(x-a))(x-a)^n　(0<θ<1)

この「マクローリンの定理」の場合、
このRn(x)のaに0を代入するだけでは
Rn(x)=(1/n!)f^(n)(0+θ(x-0))(x-0)^n
Rn(x)=(1/n!)f^(n)(θx)x^n
となり、θがきえないと思うのです。

しかし、以前、こちらで質問をした際に、
x^5をマクロ－リンの定理を適用(n=3)した結果が
10θ^2x^5ではなく、0になると指摘されました。

f(x)=x^5
f(0)=0
f'(x)=5x^4
f'(0)=0
f''(x)=5・4x^3=20x^3
f''(0)=0
f'''(x)=20・3x^2=60x^2
f'''(θx)=60θ^2x^2
n=3のとき、
f(x)=f(0)+(1/1!)*f'(0)x+(1/2!)*f''(0)x^2+Rn(x)
Rn(x)=(1/3!)f'''(θx)x^3
より、
f(x)=0+0x+(1/2)*(0)x^2+Rn(x)
Rn(x)=(1/6)*(60θ^2x^2)*x^3=10θ^2x^5 ←ここが間違い！

自分はRn(x)ではなく「マクローリンの定理では、
Rn(0)とすればいいのかなと漠然と考えていましたが、
いまいち理解できていません。
θが含まれる項が0になる理由（もしくはプロセス）を
ご指導いただければと思います。

以上、よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/01/01 21:56

いいえ。

θ が残るというよりも、
ｎ次平均値定理 (＝ｎ次テーラーの定理) (マクローリンの定理って言う？) では、
θ が x に依らない (a には依る) 定数であることまでしか分からない という事です。
θ の値は、別の方法で求める必要があります。

この回答へのお礼

たびたびの丁寧な回答、ありがとうございます。
おかげさまで、ようやくわかったような気がします。

今回の質問をさせてもらったのは、別の質問になるのですが、
『次の関数に「マクローリンの定理」を適用せよ。
但し、n=3とする。』
という問題の解き方について、以前ご教授いただいたのですが
x^5のときの答えは「0」になるとのアドバイスをいただき、
自分がこんがらがってしまったのが原因でした。

何度もすいませんが、上記の問題でn=3の時の答えを出す場合は、
x^5を5次まで微分せずに、n=3、つまり3次までしか微分しないので
θが消えずに残るが、
θの値は、aに依存する定数であることまでしかわからないので
そのまま。よって答えは「10θ^2x^5」になるということですね。

元旦にもかかわらず、
勉強不足の私にわかるように丁寧に指導していただき、
大変お世話になりました。

お礼日時：2009/01/01 22:44

No.2 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/01/01 20:42

３次の平均値定理が示すのは、

x^5 = 0 + 0 x + 0 x^2 + 10 (θ^2) x^5
を満たす定数 θ が、0 < θ < 1 の範囲に存在する
ということです。
事実 0 < 1/√10 < 1 ですから、合っていますね。

この回答へのお礼

回答いただき、ありがとうございます。
そこはかとなくですが、理解できたような気がします。

つまり、やはりx^5 をマクローリンの定理を適用する場合
5次までいけばθは消えますが、
3次(n=3)で止めるのであれば、答えは0ではなく、
10(θ^2)x^5になり、θが消えずに残るという解釈で
いいということですね。

大変お世話になりました。

お礼日時：2009/01/01 20:57

No.1 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/01/01 17:58

＞ Rn(x)=(1/n!)f^(n)(θx)x^n

＞ となり、θがきえないと思うのです。

当たり前です。消えては困ります。
そこで θ が消えるような公式が存在したら、
全ての関数 f( ) が多項式ということになってしまいます。

f(x) = x^5 の場合に、式から θ が消えるのは、
f ^(5) が、定数関数 1 なので、引数 θx に影響されないからです。

＞ θが含まれる項が0になる理由（もしくはプロセス）を
＞ ご指導いただければと思います。

違います。
式に θ が含まれなくなるだけで、R_5 が 0 になった訳ではありません。

f(x) = x^5 の５次マクローリン展開は、
f(x) = 0 + 0 x + 0 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + R_5(x),
R_5(x) = x^5.
です。

この回答へのお礼

早速の解答ありがとうございます。
ということは、f(x)=x^5をn=3でマクローリン定数を適用したときは、
Rn(x)=(1/3!)f^(3)(θx)x^3
=(1/6)*(60θ^2x^2)*x^3
=10θ^2x^5 となり、
θが残り、f(x)=10θ^2x^5 になるということでしょうか？

たびたびですいませんが、ご指導のほど、よろしくお願いします。

お礼日時：2009/01/01 18:19