因数分解 5x2乗＋6x＋1 …の様な x2乗の前の数字が1でない場合の因数分解の解き方を教えてください。

今まで因数分解を勉強してきて
ma＋mb＝m（a＋b）
x2乗＋2ax＋a2乗＝（x＋a）2乗
x2乗－a2乗＝（x＋a）（x－a）
mx2乗＋m（a＋b）x＋mab＝m（x＋a）（x＋b）

は
なんとか勉強してきました。


ただ
今回は、参考書を読んでも

5x2乗＋6x＋1 …の様な
x2乗の前の数字が1でない場合の因数分解の解き方の
「覚え方」が分かりません。


参考書に書いてある答えの解説を読めば「…だから、こうなるのか」と分かっても

どーいう覚え方（解き方）をすればイイのか分かりません。


どーいう覚え方（解き方）をすればイイんでしょうか？


よろしくお願いします。


今まで因数分解を勉強してきて
ma＋mb＝m（a＋b）
x2乗＋2ax＋a2乗＝（x＋a）2乗
x2乗－a2乗＝（x＋a）（x－a）
mx2乗＋m（a＋b）x＋mab＝m（x＋a）（x＋b）

は
なんとか勉強してきました。


ただ
今回は、参考書を読んでも

5x2乗＋6x＋1 …の様な
x2乗の前の数字が1でない場合の因数分解の解き方の
「覚え方」が分かりません。


参考書に書いてある答えの解説を読めば「…だから、こうなるのか」と分かっても

どーいう覚え方（解き方）をすればイイのか分かりません。


どーいう覚え方（解き方）をすればイイんでしょうか？


よろしくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： yamappi008 回答日時： 2009/02/07 20:52

数学Iの教科書には，公式として，

acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)……(1)
と記述されていますが，この公式だけを見て理解できる人はいないと思います。
※これから使う「^」はべき乗を表します。例えば「5^2」は「5の二乗」を表します。

まず，質問者様が困っているという問題，5x^2+6x+1を考えてみましょう。

(1)の公式で，acに当たるものは，問題では「5」です。また，bdに当たるものは「1」です。従って，ac=5，bd=1をみたすa，b，c，dのうち，ad+bc=6になるものを見つければよいのです。
bd=1なので，b=1，d=1というのはすぐに定まります。
acの場合も同様にして，a=1，c=5　又は　a=5，c=1に定まります。
ここで，ad+bc=6になるものは，a=1，b=1，c=5，d=1の場合です。
よって，上のa，b，c，dを(1)にあてはめると，
5x^2+6x+1=(x+1)(5x+1)　と因数分解できました。
(x+1)(5x+1)を展開してみますと，
5x^2+x+5x+1=5x^2+6x+1となりますので，計算はあっています。

字面だとよく分からないと思いますので，この場合の因数分解で使う「たすきがけ」の方法を画像添付しておきますので，そちらをご参照ください。

No.4 回答者： e_o_m 回答日時： 2009/02/06 04:00

普通xの2乗は　x^2 と書きますので、今後この表記を使うようにしましょう。

さて問題の
5x^2＋6x＋1
の因数分解ですが、これは"たすき掛け"と呼ばれる方法を使います。

因数分解は何をしているのかということをまず確認しておきます。
掛け算は下にあるように左から右へと展開できますね。
(本当は＝ですが、式の展開の方向を表すという意味で→を使っています)
m(a+b)→ma+mb
(x+a)^2→x^2+2ax+a^2
(x+a)(x-a)→x^2-a^2
m(x+a)(x+b)→mx^2+m(a+b)x+mab

これを右から左へと式変形するのが因数分解ですね。
ma+mb→m(a+b)
x^2+2ax+a^2→(x+a)^2
x^2-a^2→(x+a)(x-a)
mx^2+m(a+b)x+mab→m(x+a)(x+b)

さて、(ax+b)(cx+d)という式の展開を考えて見ましょう。
(ax+b)(cx+d)=ax(cx+d)+b(cx+d)
　　　　　　=acx^2+adx+bcx+bd
=acx^2+(ad+bc)x+bd
先ほどと同じように、右【acx^2+(ad+bc)x+bd】から左【(ax+b)(cx+d)】への式変形（因数分解）が出来ますよね。
この
acx^2+(ad+bc)x+bd→(ax+b)(cx+d)
という因数分解を今から説明する”たすき掛け”という方法で行います。

この因数分解をするために、a,b,c,d,を決めなければいけません
今の場合
ab=5
ad+bc=6
bd=1
となっています。
このa,b,c,d,を決めたいのですが、二つ目の式は少しわかりにくいですよね。
そこで一番上の式と一番下の式からa,b,c,dの候補を出して、二つ目式に代入します。代入して6になるa,b,c,dの組み合わせがわかれば因数分解出来ますね。

ステップ(1)（a,c　b,dの候補を決める）
5x^2＋6x＋1
のx^2の係数5と定数1を掛け算の形にします。
5=1×5=(-1)×(-5)　←a,cの候補
1=1×1=(-1)×(-1)　←b,dの候補

ステップ(2)（二つ目の式に代入）
今書いた数字を縦方向で掛け算をして、それを足し合わせます
5:-１-５
　×　×
1:１　１
　|| 　||
(-1)+(-5)=-6　←6にならないので、このa,c,b,dの候補は違います。

5:１　５
　×　×
1:１　１
　|| 　 ||
　１＋５＝６　←6になったので、これが正しいa,c,b,dです。

ステップ(3)（代入して終わり）
先ほどの計算から
a,c=1,5
b,d=1,1
となったので
acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
に代入します。
5x^2+6x+1=(x+1)(5x+1)

これで因数分解が出来ましたね。


最初はよくわからないかもしれませんが、上の手順に従ってゆっくりとよく考えて計算してみてください。


練習として同じように
2x^2-3x+1
を因数分解してみましょう。

答えは(2x-1)(x-1)となりますが、出来ましたでしょうか。

No.3 回答者： gef00675 回答日時： 2009/02/06 03:48

問題ごとに解き方を覚えていたのでは、いくら記憶力があっても足りませんから、基本的な解き方を覚えてそれを応用しましょう。

問題が、5＋6y＋y2乗　の因数分解であればわかりますね？
これは、元の式5x2乗＋6x＋1をx^2で割って、x分の1をyとおいたものです。そうすると、
5＋6y＋y2乗＝(1+y)(5+y)　
5x2乗＋6x＋1＝(x+1)(5x+1)　
この二つは根本的に同じことをしています。

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2009/02/06 03:40

こんばんは。

よく使われるのは「たすきがけ」という手法です。
下記には、「たすきがけ」と「新しい方法」があるので、ご覧になってみてください。
http://phaos.hp.infoseek.co.jp/preparations/fact …

ご参考になりましたら幸いです。

No.1 回答者： owata-www 回答日時： 2009/02/06 03:30

この場合は5x2乗＋6x＋1にx=-1を代入すると0になるので因数定理

http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/inste …

より、因数分解をした時に(x+1)が出てくることがわかります
それを踏まえてやると
5x2乗＋6x＋1＝５（ｘ＋１）（ｘ＋１／５）
となることがわかります。


それがピンとこなければ解の公式を使って
ｘ＝（－６±√｛（－６）＾２－４×５×１｝）／５
より
ｘ＝－１、－１／５
となります。

これを使えば同様に
5x2乗＋6x＋1＝５（ｘ＋１）（ｘ＋１／５）
となりますね