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今まで因数分解を勉強してきて
ma+mb=m(a+b)
x2乗+2ax+a2乗=(x+a)2乗
x2乗-a2乗=(x+a)(x-a)
mx2乗+m(a+b)x+mab=m(x+a)(x+b)


なんとか勉強してきました。


ただ
今回は、参考書を読んでも

5x2乗+6x+1 …の様な
x2乗の前の数字が1でない場合の因数分解の解き方の
「覚え方」が分かりません。


参考書に書いてある答えの解説を読めば「…だから、こうなるのか」と分かっても

どーいう覚え方(解き方)をすればイイのか分かりません。


どーいう覚え方(解き方)をすればイイんでしょうか?


よろしくお願いします。


今まで因数分解を勉強してきて
ma+mb=m(a+b)
x2乗+2ax+a2乗=(x+a)2乗
x2乗-a2乗=(x+a)(x-a)
mx2乗+m(a+b)x+mab=m(x+a)(x+b)


なんとか勉強してきました。


ただ
今回は、参考書を読んでも

5x2乗+6x+1 …の様な
x2乗の前の数字が1でない場合の因数分解の解き方の
「覚え方」が分かりません。


参考書に書いてある答えの解説を読めば「…だから、こうなるのか」と分かっても

どーいう覚え方(解き方)をすればイイのか分かりません。


どーいう覚え方(解き方)をすればイイんでしょうか?


よろしくお願いします。

A 回答 (5件)

数学Iの教科書には,公式として,


acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)……(1)
と記述されていますが,この公式だけを見て理解できる人はいないと思います。
※これから使う「^」はべき乗を表します。例えば「5^2」は「5の二乗」を表します。

まず,質問者様が困っているという問題,5x^2+6x+1を考えてみましょう。

(1)の公式で,acに当たるものは,問題では「5」です。また,bdに当たるものは「1」です。従って,ac=5,bd=1をみたすa,b,c,dのうち,ad+bc=6になるものを見つければよいのです。
bd=1なので,b=1,d=1というのはすぐに定まります。
acの場合も同様にして,a=1,c=5 又は a=5,c=1に定まります。
ここで,ad+bc=6になるものは,a=1,b=1,c=5,d=1の場合です。
よって,上のa,b,c,dを(1)にあてはめると,
5x^2+6x+1=(x+1)(5x+1) と因数分解できました。
(x+1)(5x+1)を展開してみますと,
5x^2+x+5x+1=5x^2+6x+1となりますので,計算はあっています。

字面だとよく分からないと思いますので,この場合の因数分解で使う「たすきがけ」の方法を画像添付しておきますので,そちらをご参照ください。
「因数分解 5x2乗+6x+1 …の様な 」の回答画像5
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普通xの2乗は x^2 と書きますので、今後この表記を使うようにしましょう。



さて問題の
5x^2+6x+1
の因数分解ですが、これは"たすき掛け"と呼ばれる方法を使います。

因数分解は何をしているのかということをまず確認しておきます。
掛け算は下にあるように左から右へと展開できますね。
(本当は=ですが、式の展開の方向を表すという意味で→を使っています)
m(a+b)→ma+mb
(x+a)^2→x^2+2ax+a^2
(x+a)(x-a)→x^2-a^2
m(x+a)(x+b)→mx^2+m(a+b)x+mab

これを右から左へと式変形するのが因数分解ですね。
ma+mb→m(a+b)
x^2+2ax+a^2→(x+a)^2
x^2-a^2→(x+a)(x-a)
mx^2+m(a+b)x+mab→m(x+a)(x+b)

さて、(ax+b)(cx+d)という式の展開を考えて見ましょう。
(ax+b)(cx+d)=ax(cx+d)+b(cx+d)
      =acx^2+adx+bcx+bd
=acx^2+(ad+bc)x+bd
先ほどと同じように、右【acx^2+(ad+bc)x+bd】から左【(ax+b)(cx+d)】への式変形(因数分解)が出来ますよね。
この
acx^2+(ad+bc)x+bd→(ax+b)(cx+d)
という因数分解を今から説明する”たすき掛け”という方法で行います。

この因数分解をするために、a,b,c,d,を決めなければいけません
今の場合
ab=5
ad+bc=6
bd=1
となっています。
このa,b,c,d,を決めたいのですが、二つ目の式は少しわかりにくいですよね。
そこで一番上の式と一番下の式からa,b,c,dの候補を出して、二つ目式に代入します。代入して6になるa,b,c,dの組み合わせがわかれば因数分解出来ますね。

ステップ(1)(a,c b,dの候補を決める)
5x^2+6x+1
のx^2の係数5と定数1を掛け算の形にします。
5=1×5=(-1)×(-5) ←a,cの候補
1=1×1=(-1)×(-1) ←b,dの候補

ステップ(2)(二つ目の式に代入)
今書いた数字を縦方向で掛け算をして、それを足し合わせます
5:-1-5
 × ×
1:1 1
 ||  ||
(-1)+(-5)=-6 ←6にならないので、このa,c,b,dの候補は違います。

5:1 5
 × ×
1:1 1
 ||   ||
 1+5=6 ←6になったので、これが正しいa,c,b,dです。

ステップ(3)(代入して終わり)
先ほどの計算から
a,c=1,5
b,d=1,1
となったので
acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
に代入します。
5x^2+6x+1=(x+1)(5x+1)

これで因数分解が出来ましたね。


最初はよくわからないかもしれませんが、上の手順に従ってゆっくりとよく考えて計算してみてください。


練習として同じように
2x^2-3x+1
を因数分解してみましょう。

答えは(2x-1)(x-1)となりますが、出来ましたでしょうか。
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問題ごとに解き方を覚えていたのでは、いくら記憶力があっても足りませんから、基本的な解き方を覚えてそれを応用しましょう。


問題が、5+6y+y2乗 の因数分解であればわかりますね?
これは、元の式5x2乗+6x+1をx^2で割って、x分の1をyとおいたものです。そうすると、
5+6y+y2乗=(1+y)(5+y) 
5x2乗+6x+1=(x+1)(5x+1) 
この二つは根本的に同じことをしています。
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こんばんは。



よく使われるのは「たすきがけ」という手法です。
下記には、「たすきがけ」と「新しい方法」があるので、ご覧になってみてください。
http://phaos.hp.infoseek.co.jp/preparations/fact …

ご参考になりましたら幸いです。
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この場合は5x2乗+6x+1にx=-1を代入すると0になるので因数定理


http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/inste …

より、因数分解をした時に(x+1)が出てくることがわかります
それを踏まえてやると
5x2乗+6x+1=5(x+1)(x+1/5)
となることがわかります。


それがピンとこなければ解の公式を使って
x=(-6±√{(-6)^2-4×5×1})/5
より
x=-1、-1/5
となります。

これを使えば同様に
5x2乗+6x+1=5(x+1)(x+1/5)
となりますね
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