解と係数の関係

　xの３次方程式
ax^3＋bx^2＋cx＋d＝0
の３つの解α、β、γとするとき解と係数の関係を書き、それを証明せよ。

というもんだいがあるのですが

解答をみると
まず解と係数の関係を記す。

つぎに証明に入り
因数定理でa(x-α)(x-β)(x-γ)としてこれを展開して
恒等式として係数比較して。。。。。というながれがかいてあるのですが

私は解答の方法を思いつけず、

まず解と係数の関係を記す。
α＋β＋γ＝－b/a
αβ＋βγ＋γα＝c/a
αβγ＝－d/a

これを変形して
b=－a(α＋β＋γ)
c=a(αβ＋βγ＋γα)
d=－aαβγ

としてはじめの３次方程式へ代入
ax^3-a(α＋β＋γ)+a(αβ＋βγ＋γα)-aαβγ=0

ここでx=α、β、γ
を代入すると左辺＝０＝右辺となりこの方程式の解は
x=α、β、γとわかる
またこの方程式は３次方程式なので解の個数は高々３つ
よってこの方程式の解はα、β、γのみ

というふうに書いたのですがどうなんでしょうか？


この問題は解がα、β、γならば
α＋β＋γ＝－b/a
αβ＋βγ＋γα＝c/a
αβγ＝－d/a
が成立
をしめすべきなのですが

わたしの解答では
α＋β＋γ＝－b/a
αβ＋βγ＋γα＝c/a
αβγ＝－d/a
ならば
解はα、β、γ
を示してしまっていると思います


しかし「解がα、β、γのみ」と書いたので
解がα、β、γのならば
α＋β＋γ＝－b/a
αβ＋βγ＋γα＝c/a
αβγ＝－d/a
という逆も示せているのではないかとも思います

自分ではよくわかりませんのでどなたか教えていただきませんか？

No.6 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/03/02 21:01

蛇足：

α、β、γの中に値が一致するものがあると、
因数定理の繰り返しによって f(x) = ax^3＋bx^2＋cx＋d を
f(x) = a(x-α)(x-β)(x-γ) と因数分解することはできません。

f(α) = 0 から f(x) = (x-α) g(x) なる多項式 g(x) が存在すると
言えたとしても、α = β であれば、f(β) = 0 から g(β) = 0 が
言えないからです。

「代数学の基本定理」の本来の形は、
複素係数代数方程式は、複素数の範囲に(必ず、少なくとも１個の)
解を持つ　…です。
これと、因数定理を組み合わせると、
複素ｎ次多項式は、ｎ個の一次式の積に分解できる　←(*)
となります。
多項式環がユークリッド環であることから、この分解の一意性も
言えます。
ここまで変形した系のほうを「代数学の基本定理」と呼んでしまう
ことも多いようです。

(*) の時点で、一次因子の中に同じものがあっても構わないことから、
「重複も含めてｎ個」の解とか「重根」とかの概念が発生します。

だから、三次方程式 f(x) = 0 の解をα、β、γと置いた後で、
因数定理から、f(x) = a(x-α)(x-β)(x-γ) が導かれるのではなく、
代数学の基本定理から、三次式 f(x) に対して f(x) = a(x-α)(x-β)(x-γ)
となるα、β、γが存在するが、このα、β、γが、方程式 f(x) = 0 の解
になっているのです。

話の順番が微妙に異なるのが、お判り頂けるでしょうか？

No.5 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/03/01 23:16

他の回答の注釈：

＞ わたしの解答では
＞ α＋β＋γ＝－b/a
＞ αβ＋βγ＋γα＝c/a
＞ αβγ＝－d/a
＞ ならば
＞ 解はα、β、γ　　←(1)
＞ を示してしまっていると思います

もし、本当にそうであれば、
等式変形の可逆性から、正しく

＞ 解がα、β、γならば
＞ α＋β＋γ＝－b/a
＞ αβ＋βγ＋γα＝c/a
＞ αβγ＝－d/a
＞ が成立

を示したことになるのですが、
残念ながら、貴方の証明は、似て非なる

　 α＋β＋γ＝－b/a
　 αβ＋βγ＋γα＝c/a
　 αβγ＝－d/a
　 ならば
　 α、β、γは解　　←(2)

を示してしまっているのです。

貴方は、(2) から (1) を導くために、
三次方程式の解は３個であることを使っている訳ですが、
そこで、「重根があったらどうすんだ？」というツッコミ
を喰らったのが、A No.1 です。

模範解答の

＞ 因数定理でa(x-α)(x-β)(x-γ)としてこれを展開して

の部分は、この微妙な点を巧妙に回避しています。
（もっとも、文章の言い回しによっては、貴方のと同じ
間違いになってしまうのですが…）

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/02/28 11:16

＞3つの解α、β、γとするとき解と係数の関係を書き、それを証明せよ。

解と係数の関係、そのものを証明しなければならないのにも拘わらず、質問者の解では。。。。。

＞これを変形して、b=－a(α＋β＋γ)　c=a(αβ＋βγ＋γα)　d=－aαβγ

これでは、初めから解と係数を前提として解いている。
つまり、十分条件である事の確認を行っているに過ぎない。
必要条件を求める事をしていない、そこが致命的誤り。

No.3 回答者： ichiro-hot 回答日時： 2009/02/28 08:31

>>xの３次方程式 ax^3＋bx^2＋cx＋d＝0 　の３つの解(を）α、β、γとするとき，（1）『解と係数の関係を書き』、（２）『それ』を証明せよ。

必要なことは
（１）『解と係数の関係を書き』
　　α＋β＋γ＝－b/a
　　αβ＋βγ＋γα＝c/a
　　αβγ＝－d/a
　
（２）『それ』を証明せよ。；それ＝上の根と係数の関係を表す式が正しいこと！

>>>・・・としてはじめの３次方程式へ代入
>>>　ax^3-a(α＋β＋γ)+a(αβ＋βγ＋γα)-aαβγ=0
>>>　※ここでx=α、β、γ
>>>　を代入すると左辺＝０＝右辺となりこの方程式の解は
>>>　x=α、β、γとわかる
>>>　またこの方程式は３次方程式なので解の個数は※※高々３つ
>>>　※※よってこの方程式の解はα、β、γのみ

※のところからが、惜しい。証明の流れをたどってみると・・・

与式の係数と次の関係のあるα、β、γがある。
（α、β、γが根とは言ってない）
　　α＋β＋γ＝－b/a
　　αβ＋βγ＋γα＝c/a
　　αβγ＝－d/a
↓
これが成り立つなら
　　ax^3＋bx^2＋cx＋d
＝ax^3-a(α＋β＋γ)+a(αβ＋βγ＋γα)-aαβγ
　・・・次の2行が重要！！
＝ａ・｛x^3-(α＋β＋γ)+(αβ＋βγ＋γα)-αβγ｝
＝a(x-α)(x-β)(x-γ)
と因数分解ができる。・・・(※）
↓
よってax^3＋bx^2＋cx＋d＝０ならば、
a(x-α)(x-β)(x-γ)＝０
↓
α、β、γはax^3＋bx^2＋cx＋d＝０の根
（「代数学の基本定理」；この名前は言わなくてもよいと思います）
↓
※※※上式は方程式の根と係数の関係を正しく表している。

※ax^3＋bx^2＋cx＋d≠０でも、（ア）の関係が成り立っていれば、このように因数分解することができる。因数分解にいたる考え方に、
Ｆ（ｘ）＝ax^3＋bx^2＋cx＋dで、
Ｆ（α）＝０⇒Ｆ（ｘ)=(ｘ-α）・Ｇ１（ｘ）
Ｆ（β）＝０⇒Ｆ（ｘ)=(ｘ-β）・Ｇ２（ｘ）
Ｆ（γ）＝０⇒Ｆ（ｘ)=(ｘ-γ）・Ｇ３（ｘ）
∴Ｆ（ｘ）＝(x-α)(x-β)(x-γ)Ｇ１（ｘ）・Ｇ２（ｘ）・Ｇ（ｘ）
与式と比較してＧ１（ｘ）・Ｇ２（ｘ）・Ｇ（ｘ）＝a
∴Ｆ（ｘ)=ａ・(x-α)(x-β)(x-γ)

　因数分解した式まで書けなかったことは、(ｘ-α）・Ｇ１のように、「(ｘ-α）を因数として取り出すことができなかった」、だから「(x-α)(x-β)(x-γ)・Ｇ（ｘ）と書けなかった」と思われるでしょう。だから「たかだか3個」というのはごまかしとしか思われないのでは？（例えば＃１さんの指摘）この因数分解した式を答えることができていないことが欠点の1つですね。※

※※「よってこの方程式の解はα、β、γのみ」
　こう答えてしまったという根底に、
　　数学＝計算＝『X＝５のような「解」を出すこと』
という『思い込み』が有ると思われてしまいます。
　証明は「命題が真か偽か」を答えるのであって、論証です。「解を求める」こととは違います。私なら、「解はα、β、γのみ」という表現で終わっていることから、余計に「論証について正しく理解しているのだろうか？」という不安感を持ちます。「逆が証明できている」という判断でなく、先にそのような不安感を感じてしまうのではないでしょうか。

※※※上の説明の通り、証明：何を論証したのか。「式が正しい」ということを証明したのだから、それがわかる表現でなければと思います。※※※

以上、私の意見は、
１）論証の流れとしては、これでも証明可能。最後の数行まで正しい。
２）最後の数行は公式的にも「因数分解」はできるはず。因数分解の式を明示できなければ『代数学の基本定理』を十分に使い切れていないと判断されるだろう。

３）『結論』が不適切。むしろ、「証明」そのものを理解していなという誤解を招く非常に損な表現である。
ということです。

　模範解のように、代数学の基本定理；a(x-α)(x-β)(x-γ)＝０を使って、恒等式として根と係数の関係を導き直すという道筋のほうが簡単で、きれいな証明になりますね。


　
　　

No.2 回答者： quantum2000 回答日時： 2009/02/27 23:26

質問者さんが書かれている、

わたしの解答では
α＋β＋γ＝－b/a
αβ＋βγ＋γα＝c/a
αβγ＝－d/a
ならば
解はα、β、γ
を示してしまっていると思います

までは、正しいと思います。
しかし、その後の

しかし「解がα、β、γのみ」と書いたので
解がα、β、γのならば
α＋β＋γ＝－b/a
αβ＋βγ＋γα＝c/a
αβγ＝－d/a
という逆も示せているのではないかとも思います

というところがちょっとおかしいのではないかと思います。
なぜかと言うと、

質問者さんが作られた３次方程式
ax^3-a(α＋β＋γ)x^2+a(αβ＋βγ＋γα)x-aαβγ=0
の３つ解は、確かにαとβとγの３つのみです。
しかし、この方程式は「非常に特殊な」３次方程式です。
なぜなら、この方程式の３次の係数a，２次の係数b，１次の係数c，そして定数項d の間には、
きれいな関係があるからです。
それはもちろん、見ても分かるとおり、
b=－a(α＋β＋γ)
c=a(αβ＋βγ＋γα)
d=－aαβγ
という関係です。

つまり、質問者さんが「証明した」ことは、
もし、３次方程式
ax^3＋bx^2＋cx＋d＝0
において、その係数や定数項a，b，c，d の間に
b=－a(α＋β＋γ)
c=a(αβ＋βγ＋γα)
d=－aαβγ
という「特殊な」関係が成り立っている場合は、
この「特殊な」３次方程式
ax^3-a(α＋β＋γ)x^2+a(αβ＋βγ＋γα)x-aαβγ=0
の解は、αとβとγの３つのみである、
ということを示しただけではないでしょうか。

それに対して、ご質問の当初の「証明すべきこと」というのは、
３次方程式
ax^3＋bx^2＋cx＋d＝0
について、係数や定数項a，b，c，d がどのような場合であっても、
いつでも必ず、その３つの解α，β，γに対して、
b=－a(α＋β＋γ)
c=a(αβ＋βγ＋γα)
d=－aαβγ
という関係、つまり、
α＋β＋γ＝－b/a
αβ＋βγ＋γα＝c/a
αβγ＝－d/a
という関係が成り立っている、
ということではないでしょうか。

ですから、「質問者さんの解答」と「問題集？の模範解答」とでは、
言っていることがちょっと違うのではないでしょうか、
ということなのですが、いかがでしょう？

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2009/02/27 22:31

方程式の解が重複していた場合について考察し、補足にどうぞ。