(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)－abc の因数分解

(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)－abc の因数分解がどうしても解けません。
解答は(a＋b)(b＋c)(c＋a)となっているのですが、
どうしてもそのようになりません。
どなたか分かりやすく教えてください。

No.8 回答者： info22 回答日時： 2009/04/04 21:06

因数定理を使う方法もあります。

式をf(a,b,c)とおく。
f(a,b,c)はa,b,cの3次式であり、a,b,cについて対称式（かつ交代式）であることも明らかですから、この性質をうまく使ってやります。
b=-aとおいてみると a+b=0なので
f(a,-a,c)=c(-a^2)+a^2*c=0
なので、因数定理からf(a,b,c)は(a+b)で割り切れる。
同様に、f(a,b,-b)=0から(b+c)で割り切れ、
f(a,b,-a)=0から(a+c)で割り切れることが分かります。

以上から
f(a,b,c)は以上の因数の積(a+b)(b+c)(a+c)で割り切れることが分かります。またこの積がa,b,cの3次式ですから、
f(a,b,c)も3次式なので、
ｆ(a,b,c)=k(a+b)(b+c)(a+c)
と置けます。a^2*bの係数を比較してk=1を求めることができます。
よって
f(a,b,c)=(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)－abc=(a+b)(b+c)(a+c)
と因数分解ができたことになります。

No.7 回答者： ye11ow 回答日時： 2009/04/04 19:37

こんにちは～

基本的には、他の方の回答と変わりがありませんが、
思考のプロセスを、説明に加えてみました。

さて、そういうとき、まず私ならしようと思うことですが、
万が一、答えが間違っていたりすると、悩んだことがバカバカしいので、
問題と答えの両方の式を展開して、同じであることを確認します。
（自分だけではなく、相手も疑ってみるという発想）

・・・ということで、間違えないように次々と掛け合わせてみると、
どちらの式も、

a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2+2abc

となり、「答えは間違いない！」ということが分かります。
（aの二乗＝「a^2」って見にくいですね～。「a2」がいいの？・・・独り言でした）
このことにより、「解く方法が必ずあるはずだ！」との確信を持つことができ、
「何とか頑張って解こう！」と、あくまでも前向きに臨んでいけるわけです。

さぁ、何から手をつけるか？　いろいろな方法があるかもしれません。
貴方が天才ではなく凡人なら、やはり「月並みなテクニック」からスタート。
つまり、(a+b)=X とでもおいて、式を書き直してみます。

(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
=(X+c)(ab+Xc)-abc ・・・(1)

この後、一体どうなるのか？うまくいくのか？・・・さっぱりわかりませんが、
じっとしていても仕方がなく、他にすることもないので展開してみます。

(1)の続き
=X^2c+Xc^2+Xab ・・・(2)

おっ？　うまいこと「abc」が消えたわ～
んで、さらに、おおっ？　どの項も「X」がついてるので、これでくくれる。

(2)の続き
=X(Xc+ab+c^2) ・・・(3)

これで、X⇒a+b　に戻せば、とりあえず「因数分解の形」にはなる。
もしかして、終わったかも？？　・・・んで、やってみます。

(3)の続き
=(a+b)(ab+bc+ca+c^2) ・・・(4)

部分点ありの問題であれば、優しい先生ならこれで半分くらいくれる？
でも、改めて考えてみると、問題の式　(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc　って、
a⇔b⇔c を互いに入れ替えても同じになるキレ～イな式ですから、
答えの式も、そういうキレ～イな式になるような気もします。
ここで、(4)といえば、「c^2」があったりして、気持ち悪さが残る式です。
もうひと頑張りだ～～・・・ということで、(4)を　(c+a)　でくくってみます。

(4)の続き
=(a+b){b(c+a)+c(c+a)}
=(a+b){(b+c)(c+a)}
=(a+b)(b+c)(c+a)

・・・と、ちゃんとキレ～イな形になって、涙・感動のゴールインです。

この回答へのお礼

とても分かりやすく丁寧に教えてくださって
本当にありがとうございました!!!!!!!
やってみると意外と簡単ですね。

お礼日時：2009/04/04 22:20

No.6 回答者： Quattro99 回答日時： 2009/04/04 19:02

＃1です。

ごめんなさい。これは覚えてないとしょうがないパターンだと思い込んでいて、「次数のもっとも低い文字で整理する（次数が同じならどれでもよい）」という常道でよかったことに気づきませんでした。
他の方の回答の通りです。

No.5 回答者： R_Earl 回答日時： 2009/04/04 18:59

基本的なやり方で解くこともできます。

[1]
とりあえず全部展開します。

[2]
3文字まとめて考えるのは大変なので、とりあえず1文字のみに注目します(今回はaに注目します)。
展開した式をaについて整理し、「aの二次式」とみなして因数分解します。

(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)－abc
= (a^2)b + abc + c(a^2) + a(b^2) + (b^2)c + c(a^2) + abc + b(c^2) + (c^2)a - abc　（展開）
= (b + c)(a^2) + { (b^2) + 2bc + (c^2) }a + {(b^2)c + c(b^2)}　(aについて整理)
= (b + c)(a^2) + { (b + c)^2 }a + (b + c)bc
= (b + c){ (a^2) + (b + c)a + bc }　（(b + c)で因数分解）
= (b + c)(a + b)(a + c)　（前式の中括弧内を因数分解）
= (a + b)(b + c)(c + a)　（並び替え）

{ (a^2) + (b + c)a + bc } = (a + b)(a + c)になる過程は大丈夫ですか？

No.4 回答者： nayamumono 回答日時： 2009/04/04 18:53

まず、展開してください。

そして、aに注目してください。
そうすると、
(b+c)a^2+(b^2+2bc+c^2)a+b^2c+bc^2
=(b+c)a^2+(b+c)^2a+(b+c)bc
=(b+c){a^2+(b+c)a+bc}
=(a+b)(b+c)(c+a)
となります。

さきほど、「aに注目してください」とかきましたがこれはｂでもｃでもいいです。
因数分解の問題をするときは、次数が一番大きい文字に注目すればいいのです。

例えば、あなたは6x+9+x^2の因数分解できますよね。
このときx^2＋6x+9と並び替えていると思います。
これは次数が一番大きい文字ｘに注目していることなのです。

No.3 回答者： Yoichi1987 回答日時： 2009/04/04 18:43

(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)－abc =　a2b＋abc+ca2+ab2+b2c+abc+abc+bc2+c2a-abc=a

(ab+bc+ca)+b(ab+bc+ca)+c2(a+b)=(a+b)(ab+bc+ca+c2)=(a+b){b(c+a)+c(c+a)}=(a+b)(b+c)(c+a)となります

No.2 回答者： ack1919 回答日時： 2009/04/04 18:42

X=a+bとします。

(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)－abc
=(a＋b＋c)(ab＋c(b＋a))－abc
=(X＋c)(ab＋cX)－abc
=Xab+cX^2+abc+c^2X-abc
=Xab+cX^2+c^2X
=X(ab+cX+c^2)
=(a+b)(ab+c(a+b)+c^2)
=(a+b)(ab+ca+bc+c^2)
=(a+b)(a(b+c)+c(b+c))
=(a+b)(b+c)(a+c)

これでどーかな？

No.1 回答者： Quattro99 回答日時： 2009/04/04 18:42

(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc

={(a+b)+c}{c(a+b)+ab}-abc
=c(a+b)^2+(a+b)(c^2+ab)+abc-abc
=(a+b){c^2+(a+b)c+ab}
=(a+b)(b+c)(c+a)

一応、こんなふうにやるのかと思いますが、じゃあ、どう考えてこれを自分で思いつくのかと言われると難しいです。覚えてしまった方がよいのではないでしょうか。