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「-3<a≦1, 2<b≦5 であるとき, 2a-b のとり得る値の範囲を求めよ.」
という問題を解きたいのですが、

〔解答〕
「-3<a≦1, 2<b≦5 より,
-6<2a≦2, -5≦-b<-2
これらを辺々加えると
-6-5<2a-b<2-2
∴-11<2a-b<0 …〔答〕」

というように
不等号に=がついているものとそうでないものを
辺々加えることはできますか?

そうでない場合、どのような操作、表現をすれば
この範囲を求められるのでしょうか?

今まで見たものは同じ不等号のものばかりだったのですが、
こういうタイプのものに遭遇してしまいました。
どうすればよいのかわかりません。
よろしくお願いします。

A 回答 (6件)

できます。



例えば、x≦2 かつ y<-2 の場合…

x≦2 かつ y<-2
⇔ (x<2 または x=2) かつ y<-2
⇔ (x<2 かつ y<-2) または (x=2 かつ y<-2)
⇒ (x+y<0) または (x+y<0)
⇔ x+y<0

結果的に、不等号の「=」は無くなります。
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この回答へのお礼

できるんですね!
示していただいたお話ですっきりしました。
なんとなくそのようなことを考えようとしたのですが
明確にできなかったです。
ロジカルなご説明をありがとうございます。

お礼日時:2009/05/07 23:01

>詳しく解説している参考書がありましたらご紹介いただけませんでしょうか?



私は高校時代に、ほとんど参考書というものを使った事がない。但し、黒大数を少し使ったか。
殆ど、“大数党”だったので、下の↓書籍にはあったと思うけど?

http://www.tokyo-s.jp/products/d_zoukan/one_to_o …
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この回答へのお礼

教えてくださった”大数”、さっそく購入しました。
高校時代は参考書ほとんどなしですか?
それでもできるって、尊敬します。
何度もありがとうございます。

お礼日時:2009/05/15 21:44

言葉の訂正をしておく。



(誤)出来ない事はないが、一番分かりやすいのは、グラフだろう。
(正)出来ない事はないが、一番分かりやすいのは、“座標”だろう。

ついでに、別解を示しておく。

2a-b =kとすると、b=2a-kであるから、2<b≦5 に代入すると、2+k<2a≦k+5. ‥‥(1) 又、-3<a≦1 より → -6<2a≦2。‥‥(2)
(1)と(2)を満たす共通範囲がないのは、k+5≦-6、2+k≧2.つまり、k≦-11、k≧0.
従って、(1)と(2)を満たす共通範囲があるのは、-11<k<0. → -11<2a-b<0。
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この回答へのお礼

別解ありがとうございます。
なるほど、そういうふうに考えるのですか。
いろいろなやり方があるのですね。
四苦八苦です(笑)

それから、
前のレスで教えていただいた
長方形で考える方法について
詳しく解説している参考書がありましたら
ご紹介いただけませんでしょうか?
(「赤チャート」には載っていませんでした。)

お礼日時:2009/05/09 19:15

>不等号に=がついているものとそうでないものを


辺々加えることはできますか?

質問者の考え方は正しいと思います。

正攻法は(a,b)平面上に-3<a≦1, 2<b≦5の範囲(長方形)を示し、
z=2a-bなる直線を動かしてみて定数項としてのzの採る範囲を考えるとよいと思います。
点(-3,5)で最小値-11、点(1,2)で最大値0を取ります。ただしこれらの点では=がa=-3,b=2で外れるので最小値、最大値というのは間違いで、-11<z<0となります。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
やはり長方形上で直線を動かすのですね。
ムズムズしますが(笑)
mister moonlightさんのお話と合わせてやってみます。
そういうようなことを説明している参考書などがありましたら
教えていただけるとうれしいです。

お礼日時:2009/05/07 22:57

>不等号に=がついているものとそうでないものを辺々加えることはできますか?


>そうでない場合、どのような操作、表現をすればこの範囲を求められるのでしょうか?

出来ない事はないが、一番分かりやすいのは、グラフだろう。

-3<a≦1と 2<b≦5 をab平面上に図示する。
aを通常のx軸にとり、bを通常のy軸に取ると、4点A(1、5)、B(-3、5)、C(-3、2)、D(1、2)で作る長方形の周上と内部。但し、辺BCとCDの両辺上(端点も)を除く。
2a-b=kとすると、直線:b=2a-kにおけるb切片kの値の範囲を定めると良い。
この直線は傾きが2であるから、それを上下に動かすと、上限は点Bを通る時、下限はDを通る時、従って、-11<2a-b<0。
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この回答へのお礼

グラフで考えるのですか?
おっしゃるように書いてみたのですが、
実は、よくはわかっていません(恥)
もう少し考えてみます!
どうもありがとうございます。

お礼日時:2009/05/07 22:53

>不等号に=がついているものとそうでないものを


>辺々加えることはできますか?

できますが、等号はなくなります。
[解答]は正解で、間違っていません。

>そうでない場合
該当しませんので考えなくても良い。

>こういうタイプのものに遭遇してしまいました。
>どうすればよいのかわかりません。
[解答]のやり方で正解なので、同じやり方をすれば良いですよ。


>
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この回答へのお礼

これでいいんですね!よかったです。
やり方が他にあるのかもなどと
心配だったので安心しました。
どうもありがとうございます。

お礼日時:2009/05/07 22:50

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OKじゃ!x実数⇒t実数はよいが、その逆、tが実数→x実数はかならずしも成り立たない。このことに気がつくだけでも良かったのだが、ちゃんと解答を作るとは!

x実数⇔t実数かつ(tは正または0)  
つまり、式の一部を他の文字に置き換えると、同値関係が崩れることがあるということ。解決法は、おきかえた式に戻って検討するだけ。解答はs-wordさんのでOK!

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Aベストアンサー

模試の対策をする必要はありません。
普段の勉強の成果を確認するための物ですから。
対策の結果、実力以上の点が出てしまえば、かえって実力が見えなくなります。

適切なレベルの物で勉強したい、というのは伝わります。
しかし模試は模試。
最適な教材になるとは思えませんし、なるようなら進研がとっくに発売していますし、進研ゼミなどとっくにやめているでしょう。

書店に行っても教材が多すぎると言いますが、自分の学力が把握できればおそらくそれでかなり絞れるはずです。
それも判らなければ、基礎的な薄い物をやってみて、その感触で量るのが良いでしょう。
また、色々な教材を良く眺めてみるいうのも良い勉強です。
根性決めて書店に「通って」ください。
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進研の問題は確かに基礎的な良問であるような気はしますが、だからと言って、あなたがそれで勉強できるかどうかは判りません。
もっと基礎が抜けているのかも知れないし、そんな問題では簡単すぎるのかも知れません。
それはどの教材であってもそうです。

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普段の勉強の成果を確認するための物ですから。
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適切なレベルの物で勉強したい、というのは伝わります。
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最適な教材になるとは思えませんし、なるようなら進研がとっくに発売していますし、進研ゼミなどとっくにやめているでしょう。

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Q連立方程式を代入法で解くか、同値変形で解くか

二つの連立方程式
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を解くにあたって、
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こんばんは。

「同値変形」という言葉は初めて聞きましたが、
しかし、わかりましたよ。

「同値」というのは、論理で出てくる「同値」と同じことです。
記号で言えば、「≡」や「⇔」のことです。

つまり、
2x-y-1=0
x+y-2=0
という連立一次方程式は、
2つの式の加減法で求めた3x-3=0を2x-y-1=0の代わりに用いて
3x-3=0
x+y-2=0
と書いても同値であるし、
2番目の式をxについて解いたx=-y+2を用いて
2x-y-1=0
x=-y+2
と書いても同値です。

つまり、加減法も代入法も、同値変形の一種です。

元々2本の式しかありませんから、加減法や代入法で出てきた式を使って3本以上の式を「作成」しても、そのうち独立なものは2本しかありません。
たとえば、
2x-y-1=0
x+y-2=0
3x-3=0
という3本の式のうち、1本は使わなくても解けてしまいます。
(つまり、1本捨てた残りの2本が、元の方程式と「同値」です。

また、
たとえば、2番目の式と、それを2倍にしたものだけで
x+y-2=0
2x+2y-4=0
という連立方程式を「作成」しても、答えは出ません。

まとめると、
同値変形とは、
「互いに独立なn本の一次方程式からなるn元連立一次方程式を、
 そのn本の式のどれかを使って、
 ほかの、互いに独立なn本の方程式からなる連立方程式に
 変形すること。」


ただし、
「余分な式」であっても、方程式を解く計算途中で用いることは、いっこうに構いません。

こんばんは。

「同値変形」という言葉は初めて聞きましたが、
しかし、わかりましたよ。

「同値」というのは、論理で出てくる「同値」と同じことです。
記号で言えば、「≡」や「⇔」のことです。

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x+y-2=0
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3x-3=0
x+y-2=0
と書いても同値であるし、
2番目の式をxについて解いたx=-y+2を用いて
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x=-y+2
と書いても同値です。

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Q名詞節をつくる際のHow+形容詞+S+VとHow+S+V+形容詞の違い

名詞節をつくる際のHow+形容詞+S+VとHow+S+V+形容詞の違いは何でしょうか?
自分は意味は大体同じで前者の方は強調のニュアンスがあると解釈しているのですが。

Aベストアンサー

how 形容詞 SV という名詞節は
How 形容詞 VS? という疑問文の間接疑問,
How 形容詞 SV! という感嘆文からきている
いずれの解釈も可能です。

上の場合,「どれくらい(形容詞)か」で,程度を聞くわけですが,
日本語で「どれほど(形容詞)か」で「なんと」というニュアンスが出るのと同じで,感嘆文との区別は文脈次第です。

いずれにしても,how +形容詞でひっついて「どれほど~」と一まとまりになります。

how SV 形容詞があるとすれば,how は「どのようにして」とか「どうして→なぜ」の意味で形容詞とは切り離されている場合です。
how he is so busy「どうして彼はそんなに忙しいのか」
how busy he is「彼はどれくらい忙しいのか」「彼はなんと忙しいのか」


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