量子力学におけるハイゼンベルクの不確定原理について質問させていただきます。
量子力学の教科書に
位置と運動量の不確定性は
ΔxΔp_[x]≧h/4π
で表され、x(t)=v_[x]t,E(v_[x])=(mv_[x]^2)/2とすると
ΔtΔE≧h/4π
に拡張される。
とされているのですが、どのようにこの“拡張”を証明できるのでしょうか。
よろしくお願いします。

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A 回答 (5件)

#3です。


質問者さんにも参考となると思いますので、再びここを借りて、#4さんのポアンカレサイクルについて触れておきましょう。

時間の対称性の破れを論じる時に、しばしばポアンカレサイクルに搦めて論じる方が居りますが、これもやはり慎重に論じないと、判ってもいないのに判った気にさせられてしまうことがあります。

そもそも、ポアンカレサイクルは古典力学の位相空間内の軌跡に関する定理です。そして、その位相空間内で「もし運動が有限領域に閉じ込められているのなら」という条件付きで適用可能な定理です。

従って、その条件を満たさない状況ではポアンカレサイクルの概念は意味をなさなくなります。自然放出の問題では、どこでこの条件が満たされなくなるか、一つ一つ解説してみましょう。

先ず、これは古典力学の問題ではなく、量子力学の問題だと言う点です。従って、始めから位相空間内の軌跡と言う概念が存在しません。このことについてはもう一度後に説明します。

次に、荷電粒子が有限の空間に閉じ込められており、その境界条件にエネルギーの散逸が無い、すなわち量子力学のシュレーディンガー方程式が成り立っている場合には、光のエネルギースペクトルが不連続の値を持ちます。その場合には、運動は準周期的になり、共鳴効果による自然放射は起こりません。自然放射を起こさせるためには荷電粒子は無限大の空間の中に在り、従って光のエネルギースペクトルが連続に成っている必要があります。ですから、運動が有限領域に閉じ込められているという条件も満たさないのです。

もう一つ、上で述べた量子力学について、量子力学は一般に座標空間か運動量空間の中に広がりを持った波動関数を取り扱います。従って、個々の軌跡ではなく、量子論的な確率アンサンブルを扱うのです。そこで、それに対応して、例えば古典力学でも、位相空間内の統計的なアンサンブルを考えてみましょう。これは、一般には位相空間内でゼロでない体積を持って連続的に分布する点の集まりで記述されます。そこで、極端にそのアンサンブルがたった2点だけで出来ているような場合を考えてみましょう。非線形でカオス的な振る舞いを示す古典系では、ある一点の運動の無限近傍での他の一点の振る舞いは、はじめの点との振る舞いと完全に違ったものになることが知られています。ですから、たとえ運動が位相空間内の有限領域に閉じ込められていたとしても、はじめの一点から出発して、ある時間経ってその近傍にまた点が戻って来た時の時間と、その無限近傍のもう一点から出発してそれがその一点の近傍に戻ってくる時間は全然違っています。そこで、その二点が同時に元の2点の近傍に戻ってくる時間はそれぞれの戻ってくる時間の最小公倍数になるわけです。それが、3点に成ったら、その最小公倍数は2点の時よりも桁違いに長くなることは判りますね。ところが一般には古典力学でも位相空間内のアンサンブルは有限な体積を持っているのですから、与えられた一点の周りの無限集合の運動を考えていることになります。従って、カオス的な振る舞いをする非線形系では,その無限の点が同時にもとの近傍に帰ってくる時間は無限大となってしまいます。別な言い方をすると、古典力学でも、位相空間内のアンサンブル、すなわち無限の点の集合全体に対しては、たとえ運動が有限な領域に閉じ込められていたにしても、それに対応するポアンカレサイクルは一般の非線形系には存在しません。

ですから古典力学でも、時間対称性の破れをたった一つの軌跡に対して論じているのか、それともアンサンブルについて論じているのかで、全然違ってくるのです。

いわんや、量子力学では軌跡と言う概念が無く、アンサンブルに関する概念のみが在るのですから、これに対してポアンカレサイクルを持ち出して、その運動を論じるのは筋違いなのです。量子力学の専門の方でも、時間の対称性の破れを専門にしていない方の間では、ポアンカレサイクルに対してこのように混乱している方が時々いると言う経験を、私もしたことがあります。

このように、少なくとも3つの側面から、どうして自然放射の問題をポアンカレサイクルの概念を使いながら説明することに意味が無いか、お判りいただけたでしょうか。
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この回答へのお礼

詳しいご回答ありがとうございます。
頂いたご回答について、調べるなどして懸命に理解しようとしたのですが、この春から初めて量子力学を学び始めたばかりですので、完璧な理解にはもう少し時間が必要になりそうです。
しかし、ΔxΔpとΔtΔEの非等価性だけでなく、量子力学の奥深さと面白さについても教えていただいたような気がします。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/17 02:56

#2です。


私が大雑把と書いたのは、まさに大雑把にしか書けない不完全な知識しか無いからでした。
私の理解の仕方では不十分で、例外も見落としも多数あり、いろいろな現象の分類もできません。
調和振動子のコヒーレント状態のように、異なるエネルギー固有状態の重ね合わせであるにもかかわらず波束が広がらないというご指摘は、その例外の一例です。

私の示した解釈がどのように不完全でどこから間違っているのか、質問者さんにも汲み取っていただければと思います。

私自身まだ納得していなくて、しっかり考えている専門家ならきっと指摘するだろうと予想した点を#3さんがしっかり突いてくれていると思いました。
ここに
ベキ則、指数関数則、デコヒーレンス、対称性の破れ、共鳴特異性、非線形性による位相の混合、第二法則
などのキーワードが出てきています。私の勉強になっている^^;
時間とエネルギーの不確定性関係が、時間の矢の問題の中で議論されているわけですね。

ちなみにポアンカレサイクルと書いたのは、光の自然放出の勉強をしたときに指数関数的減衰をそのように解釈したことを思い出したのです。上のキーワードでこれを理解し直すきっかけになれば。後日、別に質問を立てるかもしれません。
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この回答へのお礼

詳しいご回答ありがとうございます。
頂いたご回答について、調べるなどして懸命に理解しようとしたのですが、この春から初めて量子力学を学び始めたばかりですので、完璧な理解にはもう少し時間が必要になりそうです。
しかし、ΔxΔpとΔtΔEの非等価性だけでなく、量子力学の奥深さと面白さについても教えていただいたような気がします。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/17 03:01

この機会に#2さんの解釈に対するコメントを書かせてもらいます。

時間に関する物理学が、現在どういう側面で論じられているかの参考になると思います。

>大雑把に書きます。時間とエネルギーの不確定性関係の簡単な解釈(私の理解)は、「一定のエネルギー幅ΔEで重ねあわされた量子状態は、Δt程度までしかその状態を保持できない」というものです。Δt程度時間が経過すると、重ね合わせの位相がばらばらになってしまうからです。

確かに大雑把に言って、その解釈は間違いではないですが、それをいきなり励起状態の寿命に適用してしまうと間違いになります。ここの例で論じられている自由運動の場合には、平面波の重ね合わせによって局在する波束が作られています。そして自由運動のエネルギーは運動量、あるいは波数ベクトルに関して2次関数として非線形に依存しますから、その非線形性故に、必ずその波束は広がって行きます。ただしその非線形性がどんな非線形性であっても、その広がり方を計算してみると分かりますが、必ず時間に関してベキ関数として広がり、指数関数的振る舞いはしません。ご存知のようにベキ関数には初期条件に依存しないその関数に固有な時間スケールが存在しません。そこで、妥協案としてh/ΔE程度の時間で波束が広がったと看做そうじゃないか、というのがこの「不確定性関係式」の解釈です。実際、調和振動子のような線形な系では、波束は広がりませんし、また1次元空間を伝わる光の波束も、エネルギーが波数ベクトルに線形に依存しているので波束は広がりませんので、上のような「不確定性関係」の解釈が出来なくなってしまいます。

一方、デコヒーレンスを伴った励起状態の崩壊は時間の関数としてベキではなく、指数関数的に起こります。指数関数には初期状態に依存しない、系固有の時間スケールが在りますね。その固有な時間スケールのことを寿命と呼んでいるのです。そして、その指数関数部分が、時間の符号の反転に対する対称性を破っているのです。この指数減衰は荷電粒子と光の間の相互作用を数学的に分析した時にエネルギー空間の中に現れて来る共鳴特異性という特異性が原因で出て来ます。従って、非線形性による位相の混合とは全く違った、相互作用が原因で出てくる特異性から出てくる現象なのです。良く考え見ると、波束の広がりは既に自由運動にも見られる現象なので、波束が時間とともに一方方向に広がって行くから、時間の対称性が破れたと言うわけにはいきませんね。

ですから、もし、
>位相がばらばらになったあとにぐるっと回って元に戻らないのは、そのポアンカレサイクルを無限大とみなせるから、

時間の対称性が破れた、と言おうとするのだったならば、励起状態の崩壊と言う、まさに時間の対称性を破る現象の説明にはなっておりませんね。

>励起状態がある時間で崩壊するのは、その励起状態が「全ハミルトニアン」の固有状態ではないから。

これも、曖昧な表現になっています。自由運動だろうが相互作用が在ろうが、どんな系でも「全ハミルトニアン」の固有状態でなければ、必ず時間的に変化します。その変化は必ずしも崩壊現象ばかりでは在りません。ですから、「全ハミルトニアン」の固有状態で無かったから、崩壊現象と言う時間の向きの対称性を破る運動が起こったと言う説明にはなって居りません。上でも触れましたが、時間の対称性の破れが起こるのは共鳴特異性が原因なのです。

#1の所でも触れておきましたが、物理学の基本方程式は、時間の向きの反転に対して対称に出来ています。それにもかかわらず、この宇宙には励起状態の崩壊やら熱力学系でのエントロピー増大の法則やらと、この物理学の基本方程式あるいは基本原理と呼ばれる物と一見矛盾する現象が充満しています。そこで、この矛盾をどう解決したら良いかは、物理学の大問題の一つになっています。そして、近年のカオスなどの非線形物理学の進歩や、非平衡統計力学の進歩は、この問題を上で触れた共鳴特異性に結びつけるなどの進歩を伴って、現在多くの研究者達によって論じられている問題です。その結果、崩壊現象における時間とエネルギーの間の「不確定性関係」もその文脈の中で理解されつつ在ります。また、その時間の対称性の破れの文脈の中で、果たして、時間に対応した演算子が作れるものかどうかと言う問題も論じられ始めています。
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#1さんのコメント、興味深く読みました。


私はいいかげんな著者なのかなあ、と思ったのですが、著者の苦しみと見るんですね。
たしかに、なるほどその通りかも。。。

私はそれほど詳しくないので初学者的なコメントを。
たまたま手元にある教科書の
『量子力学I』猪木慶治・川合光著(講談社)
には、「拡張」ではなく「推論」と書いてあります。
位置と運動量の不確定性関係と、時間とエネルギーの不確定性関係とを対応付ける、ひとつの試みではないでしょうか。
「証明」にはこだわらない方がよいと思います。
その二つの不確定性関係の意味は違うのですが。

その違いについて大雑把に書きます。
時間とエネルギーの不確定性関係の簡単な解釈(私の理解)は、
「一定のエネルギー幅ΔEで重ねあわされた量子状態は、Δt程度までしかその状態を保持できない」
というものです。Δt程度時間が経過すると、重ね合わせの位相がばらばらになってしまうからです。

励起状態がある時間で崩壊するのは、その励起状態が「全ハミルトニアン」の固有状態ではないから。
全ハミルトニアンの固有状態でその励起状態を展開すると、だいたいエネルギー幅ΔE程度で重ねあわされた量子状態になっていて、だいたいΔt程度の時間で位相がばらばらになり、それが寿命だという感じです。
位相がばらばらになったあとにぐるっと回って元に戻らないのは、そのポアンカレサイクルを無限大とみなせるからです。デコヒーレンスも関係すると思います。
それは位置と運動量の不確定性とはかなり違った意味ですね。
大雑把ですが参考まで。
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なるほど、量子力学の教科書では「拡張」という言葉を使っているのですか。

その教科書の著者の苦しみが良く判ります。この著者は、時間とエネギーの間に不確定性原理が存在するとは言えないものだから、「拡張」するなんて苦し紛れの言葉を使っているのですね。

以下の話は物理学の上級編です。もし物理学を本気で分かりたいのなら、我慢して読んで下さい。

貴方が書いた、x(t)と運動エネルギーE(v_[x])という特殊なエネルギーの表現を使うことにすれば、「時間とエネルギー」の「不確定性関係式」は、数学の論理から誰にでも導き出せます。ですから、その導出法をここでは示しません。もし、貴方がこの式を導き出せないようだったら、物理学を語るための最も基本的な数学という言語を理解していないことになってしまいますので、何とか導出法を理解して下さい。そうでないと、自分はフランス語の詩を書きたいのだが、フランス語を話すことが出来ない、と言っているような物です。

さて、もっと本質的なのは物理です。たとえこの式を数学的に導出できたからと言って、この式の意味が判るようになるわけでは在りません。物理学では位置も運動量も正準共役の関係にある演算子です。そして、不確定性関係とは、その演算子間の期待値と揺らぎの関係式を表しているだけですので、ミステリーでもなんでもなく、ただ単に、位置も運動量も数ではなくて演算子だよ、と言うことを表現しているだけの関係式です。

ところが、物理学ではエネルギーの方は演算子ですが、物理的に意味の在るエネルギーの期待値には必ず下限が在るために、それに正準共役な時間に対応する演算子が存在できないことを、数学的に厳密に証明できるのです。この証明は、量子力学のスーパースター、パウリによってなされました。ですから、時間とは物理学の中でも特別な物理量で、それに対応する演算子が存在しないのです。その結果、現行のままの物理学では、時間とエネルギーの間には原理的に不確定性関係は存在しません。一見驚きなのですが、相対性理論と言う古典力学では時空の幾何学の中で時間と座標を混ぜることができるのに、量子ではそうは行かず、時間は特別なのです。それにも関わらず、時間と運動エネルギーというエネルギーの中でも特殊なエネルギーの間にだけ強引に不確定性関係みたいな物を書いてみたのが、貴方の表現した「時間とエネルギー」の間の「不確定性関係式」なのです。

物理学では、時間とエネルギーに関するこの「偽物」の不確定性関係が使われる場所は、励起状態のエネルギーの不確定性とその励起状態の寿命に結びつける場合です。ところが、励起状態は私達の未来に向かってのみ崩壊しますから、この現象では、この宇宙の時間には過去から未来へと流れる時間の向きがあることを知っていることになります。これを物理学の専門用語では、「この現象では時間の向きの対称性が破れている」と言います。ところが、古典力学でも量子力学でも相対性理論でも、全ての物理学の基本原理では、時間の向きの対称性は破れておらず、従って、過去現在未来と言う一方方向だけ流れる時間の存在を一見否定しています。従って、そもそも励起状態の寿命と言う概念が、物理学の基本原理と一見矛盾してしまうのです。

このことから分かるように、位置と運動量の不確定性関係と、時間とエネルギーの不確定性関係を同列に扱うことは、物理学では出来ません。その苦しさを、この教科書の著者は「拡張」という、苦し紛れの言葉で表現しているのです。
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フォトン放出を伴う光学遷移について勉強しているのですが、時間とエネルギーの不確定性関係について質問があります。

1.この(Δt)(ΔE)>h/2πという関係式は"原理"では無いので、導出できると思うのですが、どのように導出されるのでしょうか?

2.現象としてどのように理解したらよいのでしょうか?
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非相対論範囲での説明をよろしくお願いします。

Aベストアンサー

snobberyさんが言っているように、エネルギーと時間に対する不確定性関係というのは、運動量と位置の不確定性関係とは概念的に全く無関係のものです。
そもそも量子力学には時間はパラメーターなので時間自体に不確定性はありません。一方エネルギーは、系に摂動を加えた場合には不確定性は議論することができます。

いろんな状況で似たような関係式が導出できるかもしれませんが、その意味は状況に応じて考える必要があると思います。よく見かける議論(たしかサクライの量子力学でもそうだったはず)は、フェルミの黄金則、つまり時間に依存する一次摂動の公式からエネルギーと時間の不確定性が導出されます。

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という関係式ですが、その場合のδEの定義は

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そもそもエネルギーと時間が演算子でないにしても共役な関係にある事からこのような関係式はいろんな状況ででてきます。例えば

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「δ関数的時間依存性をもつ波はいろんなwが混ざっていてエネルギーは不確定」

というような言い方になります。
つまり状況毎に意味は異なるにせよ、不確定性関係に似たものがでて来るということはよくあることです。

snobberyさんが言っているように、エネルギーと時間に対する不確定性関係というのは、運動量と位置の不確定性関係とは概念的に全く無関係のものです。
そもそも量子力学には時間はパラメーターなので時間自体に不確定性はありません。一方エネルギーは、系に摂動を加えた場合には不確定性は議論することができます。

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積分の公式または方法はありますか?
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2a sinc(ka)は-∞から+無限大までkで積分すると
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Q2次元自由電子の状態密度関数

Z(E);状態密度関数とすると、3次元自由電子の場合、
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> No.2 補足の2行目より
> 面積V(=L^2)においてエネルギーEとE+dEをもつ状態の数は 2×πkdk/vk=k(L^2)dk/2π
> ↑この2がスピン数ではないのでしょうか?

フォントやブラウザー設定によって↑の位置が違って表示されるのですが,
頭の2のことのようですね.
これはスピンから来る2ではありません.

今,2次元ですから,波数が k から k+dk の間の面積は 2πk dk です.
長さ 2πk (つまり円周の長さ)で,幅 dk の面積と考えればOKです.
外側をとれば 2π(k+dk) じゃないかって?
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3次元の場合は,球の表面積 4πk^2 に「球殻の厚さ」dk を掛けて
4πk^2 dk ですね.

どうしても納得が行かなければ,円環の面積
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ただし,これは円の面積がよく知られているからできるのであって,
いつの場合でもこのようにできるわけではありません.
私としては,前の方の考え方に慣れるようにおすすめします.

というわけで,No.2 の補足の secret-goo さんの計算は1スピンあたりになっています.

> 別に回答に文句を言っているわけではなく、
> 単に私が勉強不足なものでよく分かっていないのです。
> ご気分を損ねましたら本当にスイマセン。

たぶん,どの回答者にとっても回答が読まれて役に立つのは最大の喜びだと思います.
secret-goo さんは回答を読まれて,
さらに自分で考えておられることがよく伝わってきます.
気分を損ねるどころか,「あ,ちゃんと読んでくれたな」というのが私の感想です.

> No.2 補足の2行目より
> 面積V(=L^2)においてエネルギーEとE+dEをもつ状態の数は 2×πkdk/vk=k(L^2)dk/2π
> ↑この2がスピン数ではないのでしょうか?

フォントやブラウザー設定によって↑の位置が違って表示されるのですが,
頭の2のことのようですね.
これはスピンから来る2ではありません.

今,2次元ですから,波数が k から k+dk の間の面積は 2πk dk です.
長さ 2πk (つまり円周の長さ)で,幅 dk の面積と考えればOKです.
外側をとれば 2π(k+dk) じゃないかって?
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Qフェルミエネルギー

フェルミエネルギーってどんなエネルギーのことですか??物理辞典とかを読んでも難しくてよくわかりません。わかりやすく説明おねがいします!

Aベストアンサー

長々と失礼致します。


電子のように
・粒子一つ一つに区別は出来ない
・一つの状態には一つの粒子しかは入れない
という性質の粒子を フェルミ粒子(ex陽子)といいます。

このフェルミ粒子は、フェルミディラック分布にしたがった確立で存在します。

f(ε)=1/[exp{(εーεF)/kT}+1]  ・・・☆
     f:フェルミ関数(運動エネルギーεをもつ粒子の存在確立)
     ε:粒子の運動エネルギー
     εF:フェルミエネルギー
     k:定数
     T:温度

☆式のεにフェルミエネルギーを入れると、粒子の存在確立が1/2になりますね。
ここで、温度T=0(絶対温度)の時を考えてみると、
運動エネルギーが、フェルミエネルギー以下の場合はf=1、フェルミエネルギー以上ではf=0となります。

ちなみに、粒子一つ一つを区別する事は出来ないけれど、一つの状態にいくつも粒子が入る事が出来るものをボーズ粒子(ex.光子)といいます。


電子はパウリの排他原理(排他律)にしたがい、一つの準位には一つの電子しか入れません。
下の準位から一つ一つ電子が埋まってゆき、その電子が詰まっている最大の準位がフェルミレベルで、このエネルギーをフェルミエネルギーといいます。
金属の場合、フェルミエネルギーは、荷電子帯の中にありますが、半導体の場合は荷電子帯と伝導帯の間にあります。
真性半導体の場合、荷電子帯の天井と伝導体の底辺のちょうど真ん中にあります。

長々と失礼致します。


電子のように
・粒子一つ一つに区別は出来ない
・一つの状態には一つの粒子しかは入れない
という性質の粒子を フェルミ粒子(ex陽子)といいます。

このフェルミ粒子は、フェルミディラック分布にしたがった確立で存在します。

f(ε)=1/[exp{(εーεF)/kT}+1]  ・・・☆
     f:フェルミ関数(運動エネルギーεをもつ粒子の存在確立)
     ε:粒子の運動エネルギー
     εF:フェルミエネルギー
     k:定数
     T:温度

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Q大学院別のTOEICの合格点を教えてください。

大学院入試でTOEICの点数を英語の点数として換算している大学院が多くあると知ったのですが大学院別にどのぐらいが合格点なのでしょうか?
東大の院生の平均点が730というデータはネットでみたのですが他のいろいろな大学院について教授からや友達からの情報でもいいので参考にさせてください。

Aベストアンサー

このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する52の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます!

参考URL:http://www.toeicclub.net/graduateschool.html

Q波数の意味と波数ベクトル

確認したい事と質問があります。

波数kというのはある単位長さ当たりに存在する1周期分(1波長分)の波の数で合っていますでしょうか?数と言っても単純に「波が1000個もある!」という意味ではなく、「ある単位長さ中に1個の波が含まれる」という感じで個数というより割合に近い物だと解釈してるのですが大丈夫でしょうか?
一般に波数kは波長λを使って、k=2π/λ、もしくはk=1/λと表されます。用いる単位系によって違いますが、ここでは分かりやすくk=1/λを例に取ります。例えばλ1=100[m]の波の波数はk1=1/100[m]となり、これは「100m中に1個の波がある」という意味であり、λ2=2[m]の波の波数はk2=1/2[m]となり、「2m中に1個の波がある」という意味で、いずれもk<1なのはどれくらいの割合で波が1つあるのかという事を表してるのだと思っています。k2は2[m]中に1つの波があるので、仮にその波を100[m]にも渡って観察すれば、その中に50個も波が存在する。一方、k1は100[m]内に1個しか波が存在しない。よってk2の波の方が波の数が多い波である。以上が波の「数」なのに次元が長さの逆数を取る理由だと解釈してるのですが、合っているでしょうか?

また、(正否は分かりませんが)波数kを以上のように考えているのですが、波数ベクトルという概念の理解に行き詰まっています。個数であり、長さの逆数を取る量がベクトル量で向きを持つというイメージが掴めません。本にはkx、ky、kzと矢印だけはよく見かけるのですが、その矢印がどこを基準(始点)としてどこへ向いているのか(終点はどこなのか)が描かれていないので分かりません。波数ベクトルとはどういう方向を向いていて、それはどういう意味なのですか?一応、自分なりに描いてみたのですが下の図で合っているでしょうか?(1波長置きに存在するyz平面に平行な面に直交するベクトルです)

私の波数の考えが合っているか、波数ベクトルが図のようで合っているかどうか、波数ベクトルとは何かをどなたか教えて欲しいです。

確認したい事と質問があります。

波数kというのはある単位長さ当たりに存在する1周期分(1波長分)の波の数で合っていますでしょうか?数と言っても単純に「波が1000個もある!」という意味ではなく、「ある単位長さ中に1個の波が含まれる」という感じで個数というより割合に近い物だと解釈してるのですが大丈夫でしょうか?
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Aベストアンサー

上の内容については私の前に書いていらっしゃる方がいるので波数ベクトルについて述べたいと思います。
あなたはどうやら波をx軸方向に進む高校で習うような波で想像しているものと思います。
しかし、現実で見かける波(たとえ水面の波紋)はz=Asin( √(kx^2+ky^2) )のようにx方向y方向に伝搬しています。このとき波は同心円状に広がるので、x方向、y方向の波数はそれぞれkという定数で表すことができます。(下のリンクを参考に)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28sqrt%28x^2%2By^2%29%29
このとき、x方向の波数は1、y方向の波数も1、z方向に波はないので波数は0となり、波数ベクトル
K=(kx,ky,kz)=(1,1,0)
のように表すことができます。

さらに発展して考えたとき、x方向とy方向の波数が違っていてもいいですよね(下のリンクのような)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28sqrt%28x^2%2B0.3*y^2%29%29
こうなるとx方向の波数は1、y方向の波数は0.3、z方向に波はないので波数は0となり、波数ベクトル
K=(kx,ky,kz)=(1,0.3,0)
のように表すことができます。

このように波数ベクトルは、現実の波をx,y,z成分で分けたときのそれぞれの波長(λx,λy,λz)から求めたものなので、あくまで波がどういう形になるのかしか分かりません。
なので波の始点や終点という概念はありません。
この波数ベクトルの利点は、たとえば現実空間で
y=sin(1*x)+sin(2*x)+sin(3*x)+sin(4*x)+・・・+sin((n-1)*x)+sin(n*x)
を考えるととても複雑なグラフとなりますが、波数空間ではkx=1,2,・・・.nの点の集合として表すことができます。(よくいわれるスペクトル表示的なものです)



波数ベクトルを現実世界の何かとして考えることはあまりないので割り切ってしまった方が楽かもしれません。

上の内容については私の前に書いていらっしゃる方がいるので波数ベクトルについて述べたいと思います。
あなたはどうやら波をx軸方向に進む高校で習うような波で想像しているものと思います。
しかし、現実で見かける波(たとえ水面の波紋)はz=Asin( √(kx^2+ky^2) )のようにx方向y方向に伝搬しています。このとき波は同心円状に広がるので、x方向、y方向の波数はそれぞれkという定数で表すことができます。(下のリンクを参考に)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28sqrt%28x^2%2By^2%29%29
このと...続きを読む


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