電気回路 並列回路におけるインピーダンスの軌跡

RC並列回路の合成インピーダンス、wが0から∞へ変化するときのインピーダンスの軌跡を求めよという問題がわかりません。
合成インピーダンスを求めると、Z=R/(1+jwCR)となり、実部と虚部に分けて{R/(1+(wCR)^2)}(1-jwCR)となりました。その後、虚部だけをwで微分すると、w=1/CRで極値Z=(R/2)(1-j)が求まりました。これとw=0,∞のときを考えると、軌跡はZ=R,Z=(R/2)(1-j),Z=0を通るということがわかりました。
そこまではわかったのですが、インピーダンスがその３点をどのようにたどるかがわかりません。それとも考え方が間違っているのでしょうか？
詳しい人がいれば教えてください。よろしくおねがいします。

No.1 ベストアンサー 回答者： tadys 回答日時： 2009/05/14 08:34

考え方は合っているでしょう。

実際にプロットしてみると楕円になるようです。
そこまで分かれば証明はできるでしょう。

この作図はスミスチャートを使えば簡単に出来ます。
軌跡はスミスチャート上で 点１(0+j0)Ωと点２(R+j0)Ωを直径とする円周の下半分になります。

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/05/18 17:49

強引な方法を使えば、意外と簡単に出ると思います。

X=Re(Z)=R/{1+(ωCR)^2},Y=Im(Z)=-ωCR^2/{1+(ωCR)^2}
と置く。
Xの式をωについて解くと
ω=(R/X-1)^0.5/CR
これをYの式に代入して簡略化する。

X^2-RX+Y^2=0

となるので、この式は円ですね。

No.2 回答者： foobar 回答日時： 2009/05/14 09:48

中心が(R/2,0)、半径R/2の円(の下半分）になりそうに思います。

例に、（Re[Z]-R/2)^2+(Im[Z])^2を計算してみてはいかがでしょうか。