a分の1+b分の1+c分の1=1 、 a≦b≦c を満たす自然数 a、b、cの組を全て求めなさい。
という問題です。式変形等やってみたのですが、できません。まず何からやるべきかもわかりません。教えて下さい。よろしくお願いします。

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A 回答 (4件)

整数の問題では、全数チェックが基本です。


ですが、整数は無限にあります。無限にあるものを相手にするわけには行きません。
そこで、まず最初にすることは、「全数チェックをする範囲を絞ること」になります。

その際に重要なのが、a≦b≦cという条件です。
何でもない条件に見えますが、これを利用して、全数チェックの範囲を極力狭くなるように絞るのです。

1/a,1/b,1/c
が出てくるので、これの大小関係を調べると、a≦b≦cなので、
1/a≧1/b≧1/c ・・・(1)
です(逆数にすると、大小が逆になる)。
このうち、最も大きな、1/aに目をつけます。
(1)より、
1/a+1/b+1/c≦1/a+1/a+1/a=3/a
ですが、この左辺は、
1/a+1/b+1/c=1 ・・・(2)
です。従って、
1≦3/a
となり、a≦3でなくてはいけません。つまり、a=1,2,3の3通りしかありえないのです。
無限の可能性のあるものが、わずか3通りに絞られます。

(2)で、a=1にしてしまうと、b,cのとりようがないので、a≠1です。

(2)で、a=2とすると、
1/b+1/c=1/2 ・・・(3)
1/b+1/c≦1/b+1/b=2/b
従って、
1/2≦2/b
となり、b≦4,つまり、a≦bなので、b=2,3,4に限られます。
(3)より、b=2ではcのとりようがないので、b≠2
b=3のとき、c=6
b=4のとき、c=4

(2)でa=3にすると、
1/b+1/c=2/3
上記と同様にして、b=3に限られ、このとき、c=3です。

よって、(a,b,c)=(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)

この問題は、論述まで含めると、「難しくない」とは言えません。
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この回答へのお礼

凄く分かりやすかったです。
ありがとうございます!

お礼日時:2009/05/16 18:17

ab+bc+ca=abc。

 a≦b≦c から、ab+bc+ca≦3c^2より、abc≦3c^2  → ab≦3c。 a≦b≦cより、ab≦c^2.
従って、c^2≦3c からc=1、2、3が候補になる。
後は、その各々の場合で、a≦b≦c と ab+bc+ca=abcを満たすaとbとcを求めるだけ。
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この回答へのお礼

まず両辺にabcをかけるのですね!!
ありがとうございます。

お礼日時:2009/05/16 18:16

(1)0,0,1


(2)4,4,2
(3)3,3,3
cは1か2か3しか有り得ず、それぞれが1通りしかあり得ない。
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この回答へのお礼

そのように条件を絞るのですね。
ありがとうございます。

お礼日時:2009/05/16 18:15

まず、


a≦b≦c より
1/a + 1/b + 1/c≦3/a
となります、よって4≦aの時は無理です

あとは調べてください
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この回答へのお礼

分数を上手く活用するのですね。
ありがとうございます。

お礼日時:2009/05/16 18:13

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