sin(2x+1)のn次導関数のとき方はどうすればよいですか
教えて下さい

A 回答 (5件)

No.2の回答者です。



No.4様が素晴らしい回答をされていますので、そちらを採用してください。
私は、頭が固すぎました。
「微分するたびに、位相が π/2 ずつずれる」という考え方は、実用面でも大いに威力を発揮します。

高校で習う、一次変換の回転行列、三角関数の加法定理と関係します。

では、失礼します。
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 nが増加するに従って変化する三角関数と符号の処理は、次の公式を使うと簡潔になります。



  sin(θ+π/2)=cosθ
  sin(θ+π) =-sinθ
  sin(θ+3π/2)=-cosθ
  sin(θ+2π) =sinθ

 ∴f(x)=sin(2x+1)のときn次導関数は、
  f(n)(x)=2^n sin(2x+1+nπ/2)
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t=2x+1 とおけば、sin(2x+1) の導関数はsint の導関数の2倍になりますよね。

だから微分を繰り返す毎に2倍が重なって行きます。それから微分を繰り返すとsin と cos が交互に現われますから、nが偶数のときはマイナス符号がつき、奇数のときはつかなくなります。
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こんばんは。



とりあえず、微分をやってみればよいです。

f^(1)(x) = 2cos(2x+1)
f^(2)(x) = -4sin(2x+1)
f^(3)(x) = -8cos(2x+1)
f^(4)(x) = 16sin(2x+1)
f^(5)(x) = 32cos(2x+1)
f^(6)(x) = -64sin(2x+1)
・・・

こうやっていくと、係数の絶対値が、どんどん2倍になっていき、
符号および、sinかcosかは、4回周期で整理できます。

以上は、高校レベル。


オイラーの公式
e^(iθ) = cosθ + i・sinθ
e^(-iθ) = cosθ - i・sinθ
上から下を引き算して、
e^(iθ) - e^(-iθ) = 2i・sinθ
よって、
sinθ = {e^(iθ) - e^(-iθ)}/(2i)
f^(0)(x) = sin(2x+1)
 = {e^(i(2x+1)) - e^(-i(2x+1))}/(2i)
 = e^(2ix+i)/(2i) - e^(-2ix+i))/(2i)

f^(n)(x) = e^(2ix+i)のn回微分/(2i) - e^(-2ix+i)のn回微分/(2i)
 = (2i)^n・e^(2ix+i)/(2i) - (-2i)^n・e^(-2ix+i)/(2i)

あとは、適当に整理します。


以上、ご参考になりましたら幸いです。
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微分するたびに何がおこるかを考えましょう。

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