n次導関数

sin(2x＋1)のｎ次導関数のとき方はどうすればよいですか
教えて下さい

No.5 回答者： sanori 回答日時： 2009/05/25 03:49

Ｎｏ．２の回答者です。

Ｎｏ．４様が素晴らしい回答をされていますので、そちらを採用してください。
私は、頭が固すぎました。
「微分するたびに、位相が　π／２　ずつずれる」という考え方は、実用面でも大いに威力を発揮します。

高校で習う、一次変換の回転行列、三角関数の加法定理と関係します。

では、失礼します。

No.4 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2009/05/24 23:42

　ｎが増加するに従って変化する三角関数と符号の処理は、次の公式を使うと簡潔になります。

　　sin(θ＋π/2)＝cosθ
　　sin(θ＋π)　＝－sinθ
　　sin(θ＋3π/2)＝－cosθ
　　sin(θ＋2π) ＝sinθ

　∴f(x)＝sin(2x+1)のときｎ次導関数は、
　　f(n)(x)＝2^n sin(2x+1+nπ/2)

No.3 回答者： Willyt 回答日時： 2009/05/24 18:28

t=2x+1 とおけば、sin(2x+1) の導関数はsint の導関数の２倍になりますよね。

だから微分を繰り返す毎に２倍が重なって行きます。それから微分を繰り返すとsin と cos が交互に現われますから、ｎが偶数のときはマイナス符号がつき、奇数のときはつかなくなります。

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2009/05/24 18:23

こんばんは。

とりあえず、微分をやってみればよいです。

ｆ^(1)（ｘ）　＝　２cos（２ｘ＋１）
ｆ^(2)（ｘ）　＝　－４sin（２ｘ＋１）
ｆ^(3)（ｘ）　＝　－８cos（２ｘ＋１）
ｆ^(4)（ｘ）　＝　１６sin（２ｘ＋１）
ｆ^(5)（ｘ）　＝　３２cos（２ｘ＋１）
ｆ^(6)（ｘ）　＝　－６４sin（２ｘ＋１）
・・・

こうやっていくと、係数の絶対値が、どんどん２倍になっていき、
符号および、sinかcosかは、４回周期で整理できます。

以上は、高校レベル。


オイラーの公式
ｅ^(iθ)　＝　cosθ　＋　ｉ・sinθ
ｅ^(-iθ)　＝　cosθ　－　ｉ・sinθ
上から下を引き算して、
ｅ^(iθ)　－　ｅ^(-iθ)　＝　２ｉ・sinθ
よって、
sinθ　＝　｛ｅ^(iθ)　－　ｅ^(-iθ)｝／（２ｉ）
ｆ^(0)（ｘ）　＝　sin（２ｘ＋１）
　＝　｛ｅ^(i(2x+1))　－　ｅ^(-i(2x+1))｝／（２ｉ）
　＝　ｅ^(2ix+i)／（２ｉ）　－　ｅ^(-2ix+i))／（２ｉ）

ｆ^(n)（ｘ）　＝　ｅ^(2ix+i)のｎ回微分／（２ｉ）　－　ｅ^(-2ix+i)のｎ回微分／（２ｉ）
　＝　（２ｉ）^n・ｅ^(2ix+i)／（２ｉ）　－　（－２ｉ）^n・ｅ^(-2ix+i)／（２ｉ）

あとは、適当に整理します。


以上、ご参考になりましたら幸いです。

No.1 回答者： noname#96417 回答日時： 2009/05/24 18:17

微分するたびに何がおこるかを考えましょう。