http://www.ocw.titech.ac.jp/index.php?module=Gen …


ここのページに書かれてあるように
「リアプノフ関数は一般的な求め方はなく、物理的なエネルギーに関するものが使われることが多い」
そうなのですが、そんなものでなぜ運動が安定かどうかを判別することが出来るのでしょうか?

適当に関数を決めてやれば、どれか一つ安定なものや不安定なものもあるように思うのですが、
一体これはどういうものなのでしょうか?

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A 回答 (1件)

ここには詳しい方もおられるのかも知れませんが、解説をすると長くて面倒と思われているのかもしれません。

たとえば詳細な議論を知ろうとするのでしたらポントリャーギン「常微分方程式」(千葉克裕訳)の「安定性」の解説を読まれたらと思います。以下ど素人の冴えない話ですみませんが...
簡単な例でx=(x1,x2,...xn)の変数系で
dxi/dt=fi(x1,x2,...xn)...(1)
あるいはベクトル表示で
dx/dt=f(x)...(1)'
となる自律方程式系(tがあらわな形で独立変数に含まれないもの)の平衡点(f(ξ)=0を満たす点ξ)の安定性を議論するものですね。もしも、線型定係数同次方程式でベクトル表示で
dx/dt=Ax...(2)
と書けるものについては解くのも簡単ですし、この時固有値の実数部分がすべて負なら安定になります。e^(-λt)の線型結合型の解をみれば直感的に解のリヤプノフに意味での安定性もわかります。(数学者でないのならやかましい議論はいらないです。)
非線形については質問者さんが添付された資料に書いてあるようにリヤプノフ関数がみつかれば安定というだけですね。しかしV(x)>0のほかにdV(x)/dt<0があり、この時に嫌でもdx/dt=f(x)が入ってきますので、縛りはあります。V(x)>0でなんでもありではありません。
リヤプノフ関数でないものはいくらでも出てきてよいはずです。例えば質問者さんの例でもV(x)=(sinx)^2とすればV(0)=0かつV(x)>0(x≠0)で連続微分可能な関数ですがdV(x)/dt=-2k(sinx)^2(cosx)となり、これは常に負にはなってくれませんのでリヤプノフ関数ではありません。逆に見つかるものなら複数の可能性があるみたいですね。dx/dt=-ksinxの例でV(x)=x^4でもよさそうに見えます。
リヤプノフ関数がみつかれば安定、というのは見つからないときに判断にこまりますね。
熱力学ではエントロピーの2次微分についてδ^2S<0(2次形式になります)、これの時間変化について∂(δ^2S)/∂t>0という裏返しの関係をつかってリヤプノフの意味での安定性を考えますね。
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Q行列の正定・半正定・負定

行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
どなたか上手く説明していただけないでしょうか?
過去の質問の回答に

>cを列ベクトル、Aを行列とする。
>(cの転置)Ac>0
>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか?
また、半正定は固有値に+と-が交じっていて、
負定は固有値が-のみなのですか?

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
(cの転置)Ac>0とは限りません。
例えば、
A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は1です。
しかし、
(cの転置) = [ 1, -2]
とすると、
(cの転置)Ac = -3 < 0
となってしまいます。(実際に計算して確かめてください。)
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』 --> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて0以上です。(つまり0も許します。)
逆に、対称行列の固有値がすべて0以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルcに対して
(cの転置)Ac<0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む

Qリアプノフ安定定理

現代制御理論について学んでいる学生です。
リアプノフ関数、リアプノフ安定定理を調べていて、
「大域的一様漸近安定」という言葉が出てきました。
「漸近安定」についてはなんとなくわかっているのですが、
「大域的」と「一様」の意味がわかりません。

リアプノフ安定と対応した解説をいただけるとありがたいです。

ご指導よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

こんにちは、Bold14さん。「リャプーノフ安定」でヤフーで検索したら、「世紀の天体力学」というタイトルが見つかりました。読んでみてください。「力学系」でも検索してみてください。大域的=宇宙の中の銀河のようなもの?数学では、具体的なイメージを想像するのは、自由ですが、大域的ということばを、どこにでも使えるように、限定的な使い方をしません。
「一様」も数学ではよくでてきます。「一様収束」「一様連続」などのように。


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