物理数学についての質問です。円筒座標系と速度の問題です。

z軸の周りに一定の書く速度で回転している円盤を考える。このとき角速度ベクトルは(0,0,ω)で与える。
(1)円筒座標系(r,θ,z)における円盤の速度 v=(Vr,Vθ,Vz)をωを使って表せ。
(2)直角座標系(x,y,z)における円盤の速度 v=(Vx,Vy,Vz)をωを使って表せ。
(3)角速度ωは
ω=1/2×(∂Vy/∂x - ∂Vx/∂y) で表せることを示せ。


以上のような問題なのですが、まったく分かりません…
どなたか教えていただけるとありがたいです・・

A 回答 (1件)

(1)Vr=0, Vθ=ω, Vz=0


(2)Vx=dx/dt, Vy=dy/dt, Vz=dz/dt
x=rcosθ, y=rsinθ, z=z,rとθがtの関数と考えて
 Vx=dx/dt=dr/dtcosθ+rd(cosθ)/dt
=dr/dtcosθ-rsinθdθ/dt=Vrcosθ-rsinθVθ
=-rωsinθ ((1)を用いて)
Vy=dy/dt=dr/dtsinθ+rd(sinθ)/dt
=dr/dtsinθ+rcosθdθ/dt=Vrsinθ+rcosθVθ
=rωcosθ ((1)を用いて)
Vz=dz/dt=0
(3)∂Vy/∂x=(∂r/∂x)ωcosθ-rωsinθ(∂θ/∂x)   (1)
∂Vx/∂y=-(∂r/∂y)ωsinθ-rωcosθ(∂θ/∂y)  (2)

x^2+y^2=r^2, tanθ=y/xを用いて
 ∂r/∂x=cosθ, ∂r/∂y=sinθ
∂θ/∂x=-sinθ/r, ∂θ/∂y=cosθ/r
  (数学の公式集参照)

 (1)に代入すると
  ∂Vy/∂x=ω
(2)に代入すると
  ∂Vx/∂y=-ω
1/2×(∂Vy/∂x - ∂Vx/∂y)=1/2×(ω+ω)=ω
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