出産前後の痔にはご注意!

数学の受験に関してです。
高校で(公立)で数IIIの授業で、バームクーヘン分割、
ロピタルの定理、パップス・ギュルダンの定理を習いました。
先生はテストでも使っていい、とおっしゃったのですが、グーグルで調べたら、どれもこれも、受験で使うとだめとかそうじゃないとか意見が分かれてるみたいで・・・
実際のところどうなんでしょうか?とても混乱しています。受験にかかわった方、詳しくわかる方、本当のところを教えてください。お願いします。

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A 回答 (6件)

高校時代は確かに数学は得意科目だつたが、私の専攻は経済学。

それも数学とはほとんど縁のない分野。
得意と興味とは別の問題。
従って、今書き込んでるのは、自分の高校時代の遺産。同時に、頭の体操のつもり。

私は、“黒大数”を少しかじっただけで、参考書を使った経験はほとんどない。学校の問題集(数研のオリジナル)以外は、もっぱら(高1の夏から)“大数(東京出版)”+増刊号 only。

>とんがりコーンの解説があるホームページか参考書の名前など教えて頂けませんか?

数IIICは文系の私には不要(理系のコースは取っていたが、余り熱心にはやってないので)だったので自信はないが。。。。w   
調べてみたが(私自身は、使った事はないが)、下のURLを見て欲しい。

http://www.tokyo-s.jp/products/d_zoukan/index.html

数ある増刊号の中で
(1) 解法の探求・微積分
(2) 数IIICスタンダード演習

の中にないだろうか? 実際に、書店で自分の手にとってチェックして欲しい。私もそこまではわからない。

>バームクーヘン分割は問題ない、と聞いたのですが、いきなり答案に書き始めてもOKですか?

バームクーヘン分割については、勿論公式もあるが、考え方の事を言ってるに過ぎない。
従って、いきなりその“公式”を持ち出さない限りは大丈夫だろう。
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この回答へのお礼

ほんとうにいろいろありがとうございました。
大体の疑問は氷解したので後は自分で調べてみますね!
助かりました!

お礼日時:2009/06/12 13:03

>同じ事は、私がCの時に、数学の教官から同様な趣旨の事を聞いた記憶がある。



○ではなく、“C”、つまりcultureの意味。そして、Cとは“教養学部”を略して書いただけ。

>つまり、使いたければ、まず証明して、ということになりましょうか。

高校数学で、ロピタルやパップス・ギュルダンが証明できるの?
そんな定理は、頭の片隅において、orthodoxに解いたら良い。その定理は、あくまで“検算と見通し”用にしたら良い。
パップス・ギュルダンについても、過去にそれを使うと簡単に行く問題があった事も事実。
ロピタルは、高校生にも比較的有名だが、パップス・ギュルダンなんて良く教えるね、高校で。
私は“大数”で知ったけど。。。。。w

この回答への補足

お返事ありがとうございます。とても参考になりました。
どうやらかなり数学に詳しい方のようですね。そのような方に教えて
頂いて頼もしく思っております。実は後日談というか疑問に持ってい
ることがありまして、他の回答者さんから、バームクーヘン分割は問
題ない、と聞いたのですが、いきなり答案に書き始めてもOKですか?

ところで先生がバームクーヘン分割を、普通に輪切りにしていくやつと
とんがりコーン(この表現が分かりづらかったら申し訳ないのですが
)をどうたらするやつを教えてくれたのですが、とんがりコーンの方法がいまいち分かりませんでした・・・よろしければとんがりコーンの解説があるホームページか参考書の名前など教えて頂けませんか?お願いします。

補足日時:2009/06/11 17:08
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他の方回答でほぼ全てなので、笑い話として一つの例を。



ある大学で「円周率が3.05以上であることを証明しろ」という
問題が出たことがあります。

その過去問を解いていたとき、
「π=3.1415…、なので自明」
と書いた友人がいます。
(本人も本気でなく、わからないからそう書いたのですが。)

確かにπ=3.1415…は証明されているものですが、
これでは点数はもらえないでしょう。
何を回答に求められているか、を読み取ることも必要です。

大学によっては、小問を設けることで、ある一つの回答方法のみを
させようとする場合もあります。
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>バームクーヘン分割、ロピタルの定理、パップス・ギュルダンの定理を習いました。

先生はテストでも使っていい、とおっしゃったのです

考え方として、それらの公式を知ってると、楽に解ける場合があることも事実だが、だからと言って、そのままで解答したなら“大幅に”減点されることは覚悟したらよい。
何故なら、教科書に載っている事は無条件で使えるが、例えば、ロピタルを知らなくても解ける問題が(苦労はしても)大学入試問題。

高校当時に使っていた“新数学演習”(東京出版)のP99にこう書いてあった。

(この問題は)ロピタルの定理を使いたくなりますが、しかし、この定理は高校では習わないので、前面に押し出せば“減点”の可能性があります。
あくまで、ロピタルの定理は検算や見当を付ける時だけにとどめましょう。

同じ事は、私がCの時に、数学の教官から同様な趣旨の事を聞いた記憶がある。

この回答への補足

詳しい回答ありがとうございます。察するに上の3つは自分で導出する
ことなしで、無断で解答にもちいると、大幅な減点を覚悟しなければならない、ということですよね?つまり、使いたければ、まず証明して、
ということになりましょうか。あと、事情があって伏せてらしているなら申し訳ないのですが、○って大学に入ってから、ということでしょうか?もし大学の教授がそういってるんなら、もう間違いないですね。

補足日時:2009/06/10 08:45
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ロピタルの定理は使用不可です。


これは証明が高校数学で学習する内容を超えているためです。
バームクーヘン分割は問題ないでしょう。
パップス・ギュルダンの定理は×です。

使っていいのは,高校数学で証明できるものです。

この回答への補足

度々申し訳ないのですが、バームクーヘン分割は問題ないとのこと、
いきなり答案に書き始めてもOKということですね?
先生がバームクーヘン分割を、普通に輪切りにしていくやつと
とんがりコーン(この表現が分かりづらかったら申し訳ないのですが
)をどうたらするやつを教えてくれたのですが、とんがりコーンの方法がいまいち分かりませんでした・・・よろしければとんがりコーンの解説があるホームページか参考書の名前など教えて頂けませんか?お願いします。

補足日時:2009/06/10 19:21
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10年以上昔ですが、大手予備校の数学模試採点バイトをやっていたときに、この公式の使用は認めない、的な指示が出たことはなかったとおもいます。



また、大学で採点する人って、日頃大学で数学を扱っている人ですから、採点段階で高校範囲かどうかを気にしているほど暇じゃないでしょ。論理的に正しければ正解にすると思いますし、減点する道義的理由がない。厳密に言えば大学入試は高校の卒業試験じゃないですから。

ただ、きちんとわかってもいないのに公式振りかざして思いっきり間違える人も多いですから、若いうちはいろいろ苦労して丁寧に全部書いてみた方がよかったりしますけどね。
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Qバームクーヘン積分について

大学入試の記述試験で回転体の体積を求める際に
バームクーヘン積分をつかって体積を求めたい場合どのように答案用紙に記述したらよいでしょうか?

Aベストアンサー

こんばんわ。

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同じように、(回転させた円筒形の面積)×(厚み:dx)を積分すると記述すればいいと思います。

・できれば、図(グラフ)を描いておいて、
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・積分を実行する。

この流れでどうでしょうか?

Qセンター試験、68%から80%に上げたい!

はじめて質問します。私は高3女子です
あとセンター試験まで40日ちょっと、焦っています。
この間、センタープレを受けたのですが、自己採点で
国語152点、数学168点、英語135点、
リスニング40点世界史48点、現社56点、生物50点
合計649点しかありませんでした。
私の目標はセンターの比重がものすごく高いので、80%弱ないと
厳しいです。

数学はいつも安定しているのですが、国語、英語がやばいです。
現国がいつも安定しなく、英語は長文はそんなに間違えないのです
が2番、3番が壊滅的です。。。今回は長文がこけてしまって、上
に書いた点数になってしまいました。

この68%をなんとか80%位まであげたいのですが、可能でしょ
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っしゃっているのですが、不安です。
手を打つのが遅いのはわかっていますが、これから冬休みもあるし、
1日のほとんどを勉強につぎ込めんでいくつもりです。どういう勉強
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やろうと思っています。現代文と漢文が安定すればいいのですが。
英語も青本とかをやるのは遅すぎますか?
特に国語と英語、世界史の勉強法を教えてください。よろしくお願いし
ます。

はじめて質問します。私は高3女子です
あとセンター試験まで40日ちょっと、焦っています。
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リスニング40点世界史48点、現社56点、生物50点
合計649点しかありませんでした。
私の目標はセンターの比重がものすごく高いので、80%弱ないと
厳しいです。

数学はいつも安定しているのですが、国語、英語がやばいです。
現国がいつも安定しなく、英語は長文はそんなに間違えないのです
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Aベストアンサー

最低8割という目安で書きます。丁寧じゃないのは勘弁。

現代文:いまさら底上げはほぼ無理。作者の意図ではなく、出題者の意図を汲み取れれば高得点可能。
古文:9割いける部分。メジャーな単語と、助動詞を暗記すべし。2日に1回は長文を読むこと。(慣れるため)
漢文:満点必須。メジャーな構文を知っていれば、後は漢字力勝負。河合のステップアップなんとかがよかった。

数学:安定の数学がようやく8割じゃ、全体8割は夢のまた夢。最低9割。1Aか2Bどっちかは満点ほしいところ。個人的には間違えても、解答をみるだけで、すべてが理解できるレベルにしておきたい。
解答見て、なんで?と参考書や教科書読み直すようじゃきついです。

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長文はすべて満点がほしいところ。
時間がないなら長文から解いてください。

世界史・現社:理系ですか? 社会が苦手ならば歴史や現社を選択した時点で相当きついですよ。
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冬で理・社は伸びるという言葉に惑わされないように。
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総評:どこを捨てて(適当にやって)、どこを確実に取りに行くか。
   8割取得プランを立ててください。
   なお、センター過去問・センター模試過去問はぜひやってください。やったからって実力はあがりませんが、現在の実力を測ることはできます。

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Q面積の積分公式

いわゆるバームクーヘン型と呼ばれるものですが、

f(x)=2π∫(α→β)xf(x)dx

という公式です。持っている参考書には「一般に関数f(x)の面積はこの公式で表される」とありますが、つまりこの公式はf(x)がどんな関数であっても使えるということなのでしょうか?また入試試験でこの公式を証明を用いずに使って減点されたりはしないのでしょうか?

Aベストアンサー

通常使う関数であれば、「どんな関数でも」と言っていいでしょう。
("通常使う"と書いたのは、積分自体が定義できない関数もあるからです)

これは証明しなくても、普通は減点されないでしょう。この程度の物の証明まで必要なら、解答用紙が足りなくなってしまうでしょうし。(もし書くとしても簡単な説明くらいで十分)

Qセンター過去問(追試験)ってやるべきですか?

はじめまして。センターを控えた国公立理系志望の高3です。センター受験科目は、英語、数学、物理、国語、化学、地理です。

過去問(本試験)や河合の黒本、駿台の青本は終わっちゃって、これからやる問題集が切れてきました。
なので過去問(追試験)もやろうかなと思っています。
しかし学校の先生は追試は難しいからやっても意味ないと言っていました。
そこで質問なのですが、本試験と追試験のレベルが違いすぎてやらない方がいい科目ってなんですか?また、やった方がいい科目とか何年分やった方がいいとか教えてください。お願いします!!

Aベストアンサー

自分はあまり追試験の過去問はオススメしません。
やはり内容はそこそこ難しいのもありますし、
それをする時間があまりにももったいないからです。

過去問・黒本・青本、すべて3回以上やってはどうですか?
全試験の解答時間を3/4に減らしてやってみましょう。
なかなか回答速度があがって、即実践できる勉強方法ですよ!

それと、おせっかいかもしれませんが、質問者様は寝るべきです。
2時まで起きて朝8時(睡眠時間6時間と仮定)に起床するよりか
12時で寝て6時に起きて勉強した方がモノ覚えが数倍良く、
なおかつスッキリした一日をむかえることができますよ!
今が勝負時です!先生や親のいうことがうっとうしくなる時期ですが、
自分が正しい!と思って頑張ってくださいね!
合格できることを祈っております!

Q大学の記述入試で外積は使えますか?

四面体の4頂点の座標が定められていて、高さや体積を求める問題を今日塾でやってきました。
そこで先生がベクトルの外積を用いて解いていて、
「外積で答えるのが不安なら普通にやればよいが、試験で外積を使っても絶対にバツにはならない」
と言い切っていたのですが、本当に大丈夫でしょうか?

ロピタルの定理なんかは証明しなければ危険らしいですが、外積はどうなんでしょう?先生が自信満々で使えると言っていたので、気になりました。

Aベストアンサー

個人的には、ロピタルの定理や外積は使わない方が良いと思います。

ロピタルの定理については、使っていても減点はしないというのが大方の大学の先生の意見です。
しかしながら、なぜか分かりませんが、ロピタルの定理を使ってはいけない、という大学の先生が少数ながらいることも事実です。

ただ、ロピタルの定理や外積を使わない方が良いというのは、上の理由によるのではなく、受験生でロピタルの定理を正確に使えるものは少ないからです。
つまり、ロピタルの定理を使っても減点されないにも関わらず、受験生がロピタルの定理を正確に使えていないので減点されてしまう、というケースが多々あります。

これは、受験生がロピタルの定理を単なる公式であると思い込んでいることや、高校の先生で定理の仮定をきちんといえる人が少ない、などに原因があります。

外積も同じことで、受験生のどれだけが使いこなせるのでしょうか?使いこなせないものを受験本番で使って良いという指導は、問題なのではないでしょうか。

逆にいえば、十分に使いこなせるのならば、減点はされないと思います。

個人的には、ロピタルの定理や外積は使わない方が良いと思います。

ロピタルの定理については、使っていても減点はしないというのが大方の大学の先生の意見です。
しかしながら、なぜか分かりませんが、ロピタルの定理を使ってはいけない、という大学の先生が少数ながらいることも事実です。

ただ、ロピタルの定理や外積を使わない方が良いというのは、上の理由によるのではなく、受験生でロピタルの定理を正確に使えるものは少ないからです。
つまり、ロピタルの定理を使っても減点されないにも関わらず...続きを読む

Q滴定実験

実験で、M/10NaOH標準溶液による酢酸溶液の滴定をやりました。滴定曲線を書き、そこから半分中和された点のpHを求め、その液温におけるpKaを求めよ。というお題がありました。滴定曲線はかけたのですが、半分中和された点、というのがわかりません。ただNaOHの当量点の値÷2をすれば良いのでしょうか?
あと当量点におけるpHを、どうしたら計算でもとめられるのですか?
お願いします。。。

Aベストアンサー

近似解法も書いておきます.
まず,溶液は弱酸の塩の加水分解という現象によって,中性より少しアルカリによっているということを考えます.すなわち,酢酸イオンの一部が水から H+ を奪って酢酸になり,その結果 OH- が少し過剰になるということです.酢酸ナトリウムが極端に薄いという事がないのであれば,この加水分解がわずかしかおこならいのであれば,
[CH3COO-]>>[CH3COOH]
[CH3COO-]>>[OH-]
また [Na+]>>[H+] も自明ですから,
電荷均衡は [Na+]=[CH3COO-] と近似でき,しかもこれは c に等しいこともいえます.
c=[Na+]=[CH3COO-]
これを解離平衡の式 Ka=[H+][CH3COO-]/[CH3COOH] に適用すれば,
Ka=[H+]c/[CH3COOH]
また,[CH3COOH] は CH3COO- + H2O → CH3COOH + OH- という反応でできるわけですから,[CH3COOH]=[OH-] と近似でき,これを使えば
Ka=[H+]c/[OH-]
水のイオン積を使えば[OH-]=Kw/[H+]ですから
Ka=[H+]^2c/Kw
ゆえに [H+]^2=KaKw/c,つまり pH= (1/2)[pKa + pKw + log c]です.
仮に c = 0.01 mol/L とすると,Ka=10^-4.75,Kw=10^-14 より
pH = (1/2)[4.75+14-2]=8.38 で,もっともらしい値になりますね :-)
c = 0.1 mol/L なら 8.88,c = 0.001mol/L なら 7.88 となりますが,
もちろん c が小さいときは上で使った仮定がどんどんあぶなくなることは言わずもがなです.

近似解法も書いておきます.
まず,溶液は弱酸の塩の加水分解という現象によって,中性より少しアルカリによっているということを考えます.すなわち,酢酸イオンの一部が水から H+ を奪って酢酸になり,その結果 OH- が少し過剰になるということです.酢酸ナトリウムが極端に薄いという事がないのであれば,この加水分解がわずかしかおこならいのであれば,
[CH3COO-]>>[CH3COOH]
[CH3COO-]>>[OH-]
また [Na+]>>[H+] も自明ですから,
電荷均衡は [Na+]=[CH3COO-] と近似でき,しかもこれは c に等しいこと...続きを読む

Q東大と東工大の数学について

初めまして、高三女子の受験生です。神奈川県内の進学校に通っており、今進路について悩んでおります。学力は、先日の河合の全統模試にてマーク、記述合わせ偏差値65弱といったところです。

ただ、理系ですが英語や国語の方が偏差値が高く(70あたり)数学が足を引っ張っている状態です。
勿論数学に重点を置いた学習を行っておりますし、いくら苦手でも努力を惜しまないつもりでいます。しかしここ一年ほど伸びが悪くて悩んでいるのも事実です。

東工大と東大では東工大の方が数学が難しいと聞くこともあり(また、国語や英語の配点の高い)東大の方があるいは有利になるのでは?と思いつつもありますが、やはりそれを考慮しても東大の方が難しいものなのでしょうか?
双方の大学の難易度(主に数学)について詳しい方いらっしゃいましたらどうぞご解答お願い致します。

(因みに建築志望ですので東工大では第六類、東大では理科一類志望になります)

Aベストアンサー

東工大の数学が東大の数学より難しい、と言うのは過去にはあったと思いますが
最近では東大の方が難しいと思いますよ。東工大は少なくともここ3年は5,6年前と比べると明らかに簡単になっています。
東大も易化しているのですがやっぱり時間と問題数の勝負というか、処理能力が結構試されると思います。
それに引き換え東工大はじっくり腰を据えて解けるので、気分的にはラクでした。
物理も同様に最近は東大の方が難しいかと。東工大化学はクセがあるので比較できません。

東工大が数3重視というのはご存知と思いますが、数3と言うのは
ややパターンの傾向が強いのできっちりと対策してあれば方針が立ちやすいです。(計算量はけっこうありますが)
それに引き換え東大の好きな整数問題や確率は方針が立てば計算は楽なものの
その方針がなかなか立てづらいことが多いです。
あと先も触れましたが東大数学は処理能力が大事です。
どこで部分点とってどこを捨てて、とかそういうの。私は苦手でした。。。

正直、私的には狙えるなら東大狙って欲しいです。
不謹慎かもしませんがやっぱりネームバリューが違うなーとよく思います。
英語、国語が得意であるなら尚更。(私は国語で諦めたくちです)
ただし、私の友人でセンター93%、東大プレでランキングに乗ってた奴は落ちていました。
東大受験はそれなりのものだとも思ってください。あと運も大事です。

あと模試は河合全統だとあまり当てにならないので駿台全国ハイレベル模試や
夏にある東大実践などで判断してください。かなりレベルが違います。

ちなみに私は大学への数学シリーズ信者でしたので、思考力をつけたい人には特に
1対1対応の演習や新数学演習はオススメです。

がんばって!

東工大の数学が東大の数学より難しい、と言うのは過去にはあったと思いますが
最近では東大の方が難しいと思いますよ。東工大は少なくともここ3年は5,6年前と比べると明らかに簡単になっています。
東大も易化しているのですがやっぱり時間と問題数の勝負というか、処理能力が結構試されると思います。
それに引き換え東工大はじっくり腰を据えて解けるので、気分的にはラクでした。
物理も同様に最近は東大の方が難しいかと。東工大化学はクセがあるので比較できません。

東工大が数3重視というのは...続きを読む

Q重心系について

今私は某大手予備校に通い勉強しているのですが、重心系という考え方はおもしろそうなのですが、今一つ理解に苦しんでいます。重心系についてやまた使う利点などが載っているサイトを知っていましたら御紹介お願いしますm(__)m

Aベストアンサー

受験生ということならこんな例はどうでしょう.

「質量m,速度vで動いている小球Aが
 静止している質量Mの小球Bに衝突した.
 反発係数はeとして衝突後の2物体の速度は?」
なんて問題だと,通常は
 mv = m(v_A) + M(v_B)
 e = - {(v_A) - (v_B)}/(v-0)
のように運動量保存と反発係数の式を連立させて解くと思います.

これを重心系を使って解いてみます.
重心の速度は m/(m+M)*v なので(m/(m+M)*v を引いて)
重心系での小球Aの速度は
 v - m/(m+M)*v = M/(m+M)*v
重心系での小球Bの速度は
 0 - m/(m+M)*v = -m/(m+M)*v
のように見えます.
衝突後の重心系での速度はそれぞれ -e をかけて
 -eM/(m+M)*v , em/(m+M)*v
となるので,最後に元の慣性系に戻して(m/(m+M)*v を足して)
 (m-eM)/(m+M)*v , m(1+e)/(m+M)*v
が求める速度となります.

(慣れていれば)計算が楽だと思います.

受験生ということならこんな例はどうでしょう.

「質量m,速度vで動いている小球Aが
 静止している質量Mの小球Bに衝突した.
 反発係数はeとして衝突後の2物体の速度は?」
なんて問題だと,通常は
 mv = m(v_A) + M(v_B)
 e = - {(v_A) - (v_B)}/(v-0)
のように運動量保存と反発係数の式を連立させて解くと思います.

これを重心系を使って解いてみます.
重心の速度は m/(m+M)*v なので(m/(m+M)*v を引いて)
重心系での小球Aの速度は
 v - m/(m+M)*v = M/(m+M)*v
重心系での小球Bの速度...続きを読む

Q半中和点とは?

半中和点とは中和点と0の中間点と考えていいんでしょうか。
ググっても出てこないんでここで質問させてもらいました。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

過去問#2109564の中和点(当量点)までの半分の体積でのpHからpKaを求めるというヤツではないでしょうか。聞いたことはあります、というか、受験時代、遙か彼方にかすんでるような気が…。・_・;

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2109564

Qなぜ不飽和脂肪は飽和脂肪より融点が低いのですか?

なぜ不飽和脂肪は飽和脂肪より融点が低いのですか?
二重結合がある不飽和脂肪のほうがフレキシブルじゃないので融点が高いような印象が拭えないのですがどなたか教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

いわゆる不飽和脂肪酸の二重結合はシス配置です。そのため分子の形状は、二重結合の場所で折れ曲がったようになります。二重結合が多くなれば何カ所かで折れ曲がることになり、全体として分子が丸っこくなります。一般に、鎖状の分子よりも、丸っこい分子の方が分子間力は小さくなるために、融点も低下します。
ちなみに、二重結合の配置がトランスであっても、飽和脂肪酸と比べて多少は融点が低下するようですが、シス体よりもむしろ不飽和脂肪酸に近い融点をもつようです。


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