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No.1
- 回答日時:
まず、「関数の連続性」の定義を確認すると、
「一変数関数f(x)がある点aで連続であるとは、xがaに限りなく近づくならば、f(x)がf(a)に限りなく近づく」こと、すなわち、
「lim[x→a]{f(x)}=f(a)が成り立つ」ことです。
ゆえに、「|x|が(-∞,∞)で連続であることを示す」には、定義にあてはめて考えると、f(x)=|x|として、
「lim[x→a]|x|=|a|が成り立つことを示せ」ば良いことになります。
では、具体的にどうすればよいかと言うと、ここは常套手段「はさみうちの原理」を用います。そのために三角不等式を持ち出します。
|x|=|x-a+a|≦|x-a|+|a|は、aの正負を考えれば当たり前。
|a|=|a-x+x|≦|x-a|+|x|は、xの正負を考えれば当たり前。
したがって、|x|-|a||≦|x-a|です。(もっとも、いきなりこの式を出しても十分だと私は考えますが…)
|x|-|a||≦|x-a|の左辺は絶対値ですから、必ず、
0≦|x|-|a||≦|x-a|ですね。
lim[x→a]|x-a|=0ですから、はさみうちの原理より、
lim[x→a]||x|-|a||=0
⇔lim[x→a]|x|=|a| (証明終了)
この証明から明らかなように、f(x)が連続関数の時、|f(x)|も連続関数です。
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