ベクトルの大きさの求め方

「△OABにおいて、OA=√3,OB=2,AB=3とし、ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOBとおく。また、線分AB上に点Cをとる。
ベクトルAB⊥ベクトルOCのとき、ベクトルOCをベクトルa,ベクトルbを用いて表せ。」という問題がよく分かりません。
答えは5/9ベクトルa+4/9ベクトルbとなるのですが、そこまでの過程を教えてください！！

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/07/09 18:43

何らかの自力解答を書いて分からない所だけ質問する（投稿マナー）ようにして下さい。

なのでやり方の手順だけ書いておきます。
ベクトルは記号の後に↑を書いて表すと

OC↑=OA↑+AC↑=a↑+tAB↑=a↑+t(b↑-a↑)…(■)

直交条件AB↑⊥OC↑より
内積 AB↑・OC↑=0
(b↑-a↑)・{a↑+t(b↑-a↑)}=0

この式の括弧を外し、以下で求める内積を代入してtを求める。

a↑とb↑のなす角θ：cosθを余弦第二定理から求める。
a↑・b↑=2√3cosθ=-1,a↑・a↑=2, b↑・b↑=4

求まったtを（■）に代入すればよい。

No.1 回答者： banakona 回答日時： 2009/07/09 18:17

ＡＢを１－ｔ：ｔに内分する点の位置ベクトルは　ｔａ＋（１－ｔ）ｂ　・・・（＊）

と表せる。

　中学モード：ＡＣをｘと置いてＯＣを、三平方の定理で２通りに表して、ｘを求め、ＡＣ：ＣＢを求める。

　高校モード（別名マゾモード）：ＯＣ⊥ＡＢだから、ＡＢ＝ｂ－ａと（＊）の内積は０。
　　　この内積の式を展開する。余弦定理でａ，ｂのなす角のｃｏｓを算出し、ｔを求める。

　ちなみに私は高校モードで解いた。