置換積分のイメージ

置換積分についての質問です。
数式の処理は出来ます。
ただ∫f(g(x))g'(x)dx=∫f(u)du　[ただしu=g(x)]　という置換積分の式についてイメージができません。
左辺はdxなのに右辺はduである理由も、なんとなくわかっているようなわかっていないような、すごく曖昧な理解しか出来ていません。
そこでこの置換積分の式についての理解を深めさせていただきたいです。
この数式の意味をなるべく言葉で教えて欲しいと思います。
よろしくお願いします。

No.3 回答者： mesenfants 回答日時： 2009/07/19 17:05

疑問の意味がとてもよくわかります。

以下は、わたしなりのイメージです。
わたしは、媒介変数のイメージでやってます（笑）。
「ＡとＢをＴが媒介する。Ａが変わればＴが変わる、Ｔが変わればＢも変わる」→「Ａが変わればＢも変わる」。「ＡをＴで積分し、ＴをＢで積分する」→「Ｂで積分すればＡが積分される」
以上を面積でいえば「二重の縄目のある縄（タオル）を絞る」の逆イメージでイメージします。表面を絞ると、連動して内部の縄が絞られます。逆に、内部の縄を膨らませると、連動して表面の縄がふくらみます。この連動の様相を式に表したもものが「dx→dt」とすれば、感動的ですらあります。
置換積分も連動しているというイメージが大事です。置換がサインやコサインの場合にこそ、このよじれた縄のイメージがとてもいいと私はかってに思っています。
数学的には形式的に等式を等式でつなげているだけのだ、どこにも矛盾はないと、割り切ることも、このさい試みてください。まえの回答者さまもおっしゃていますが、合成関数の積分の証明がどの教科書にものっていますが、置換積分に不安を感じたとき（ほんとにこれでいいのと思ったとき）そこをじっくり読み込んだ記憶があります。
とりとめもなく、参考にはならないかもしれません（たぶん）。

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/07/19 16:38

微小な幅での面積で考えてみるとよいのではないでしょうか。

f(g(x))とx軸で囲まれた領域を考える。
この領域をx:1x～x1+Δxの幅Δxの部分の面積は
f(g(x1))Δx (1)
となります。

g(x)=uと置き換え、同様にf(u)とu軸で囲まれた領域を考える。
この領域のx:x1～x1+Δxに当たる領域、u:u1～u1+Δuの幅Δuの部分の面積は
f(u1)Δu (2)
となります。

(1)と(2)は明らかに異なります。なぜなら、f(g(x1))=f(u1)ではありますが、ΔxとΔuは異なる大きさを持つからです。
ではΔxとΔuにはどのような関係があるのでしょうか。

u=g(x)ですので
Δu=g(x1+Δx)-g(x1)
です。この両辺をΔxで割ると
Δu/Δx={g(x1+Δx)-g(x1)}/Δx (3)

(3)の右辺、見たことがあるような式です。
そう、Δx→0とすると微分の定義式になります。
今回は微小な領域で考えているので(3)の右辺をg'(x1)と置き換えてもいいでしょう。

Δu/Δx=g'(x1)→Δu=g'(x1)Δx (4)
となります。

つまり、
(1)にg'(x1)をかけたもの　f(g(x1))g'(x1)Δxとf(u1)Δuが等しくなることがわかります。

後はf(g(x1))g'(x1)Δxを足し合わせてΔx→0にしたものが積分です。

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/07/19 16:16

言葉で説明は難しいですが。

＞左辺はdxなのに右辺はduである理由
これは単純に変数を置き換えている（置換）ので、合わせているという認識でいいかと思います。

重要なのは、du と g'(x)dx との関係です。
u=g(x)と置くことから du=g'(x)dxとしますが、
xの増加量と uの増加量はその割合が違い、その度合いは g(x)に依存しているということができます。

仮に g(x)=x^2のとき、
xが 1→1.1と変化すると、uは 1→1.21と変化します。
xが 2→2.1と変化するときには、uは 4→4.41と変化します。
つまり、xの値によってその変化の度合いは変わってきます。
その度合いは、g'(x)=2xとして表されます。

g(x)=2xといった一次式を例にすると、もっとわかりやすいかもしれません。

合成関数の微分でも、同じようなことが言えます。
変数を置き換えたとき、その変数の変化の度合いは関数によって異なるということを表しているということです。

言葉がわかりづらかったらすみません。