制約条件付き最適化問題です。
maximize・・・f(x1,x2)=x1^2x2・・・エックスワンの2乗エックス2
subject to・・・g(x1,x2)=2x1^2+x2^2=3・・・2エックスワンの2乗プラスエックスの2乗イコール3
(1)極大化の1階の条件より最適なx1,x2の値を求めなさい
(2)極大化の2階の条件が満たされているかどうか確かめなさい
これについてなんですが、
ラグランジュ関数を、
Z=x1^2x2+λ(3-2x1^2-x2^2)とおきますよね?
これを
Zλ=0・・・Zx1=0・・・Zx2=0としたいのですが、
λ=、x1=、x2=、の解が出せずに困っています。
この解のx1,x2の値が1階の条件の最適だということでいいのでしょうか?
あと(2)はどうすればいいのでしょうか?
縁付ヘシアンを使うのでしょうか・・・?それでもきれいな数字にならなくて困っております。ご教授おねがいします。
A 回答 (1件)
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No.1
- 回答日時:
> λ=、x1=、x2=、の解が出せずに困っています。
変だなあ。迷いようのない一本道。偏微分を計算するのもメチャ簡単だし、その後もまるきり簡単だけどなあ。
という訳で、どうお困りなのか、やったとこまで書いてみて下さいな。
この回答への補足
ありがとうございます。
解は(x1,x2,λ)=(1,1,1/2)と(-1,-1,-1/2)
となりました。
これを代入しまして、
(x1,x2)=(1,1)は停留値2
(-1,-1)は0をとるという答えでいいのでしょうか?
そして2問目なんですが、
縁付ヘシアンを使いまして、
|H|=|0 4x1 2x2 |
|4x1 2x2-4λ 2x1 |
|2x2 2x1 -2λ |
とおきまして、
これを計算し、32x1^2-8x2^3+16x2^2λ+32x1^2λ
とし、2乗はx1=+-1であるので、見やすいように、2乗をけして、
3乗も1乗にしました。x2=x1であるので、Xと書き換えて
すると、|H|=24X+48λとなりまして、
|H|>0のとき2階の条件より極大
|H|<0のとき極小なので
(x1,x2,λ)=(1,1,1/2のときは)停留値2が極大値を
(-1,-1,-1/2)のときは極小値をとるという答えでいいのでしょうか?
読みにくく、わかりにくい伝え方で申し訳ありません。
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