痔になりやすい生活習慣とは?

{an}:1,2,5,10,17,26,・・・
などの等差数列を使う階差数列は分かるんですけど
{an}:5,6,4,8,0,16,-16,48・・・
の時に一般項anを求める等比数列を使う階差数列の解き方がわかりません。

この場合、初項1、公比-2の等比数列の和を求めて
anの初項5を足したらいいんでしょうか?

A 回答 (3件)

まず,あまり知られていない定理を書いておきます。



定理:階差数列が等比数列である数列は、うまくずらすと公比が同じ等比数列になる。

{an}:5,6,4,8,0,16,-16,48・・・の階差数列は
{bn}:1,-2,4,-8,16,-32,64・・・で,
公比が-2の等比数列です。

そこで,元の数列の各項を+xずらした数列
{an+x}:5+x,6+x,4+x,8+x,0+x,16+x,-16+x,48+x,・・・
を考えます。
この数列が公比-2の等比数列になる(必要)条件は
  (5+x)×(-2)=6+x. 
この一次方程式を解くと x=-16/3.

{an-(16/3)}:-1/3,2/3,-4/3,8/3,-16/3,32/3,・・・
このずらして得られた等比数列の一般項が
an-(16/3)=(-1/3)×(-2)^(n-1)=(1/6)×(-2)^n
なので
an=(16/3)+(1/6)×(-2)^n
と分かります。
(2010-04-30.FRI 14:07)
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p1nk_wh1teさんがおっしゃっているように、


「初項1、公比-2の等比数列の和を求めてanの初項5を足したらいい」です。

a_nの階差数列{b_n}:1,-2,4,-8,16,-32,64,…
なので{b_n}は初項1、公比-2の等比数列です。
そして、
a_n=a_1+b_1+b_2+…b_{n-1} を計算すればOKです。

階差数列が等差数列になるときと、b_nを作り一般項a_nを求める仮定はいっさい変わりません。ただし、等比数列の場合は、等比数列の和の公式
S_n={a(1-r^n)}/{1-r}
を正しく使えることが必要になります。
今回はb_1+b_2+…b_{n-1}=S_{n-1}={1-(-2)^{n-1}}/{1-(-2)}となります。
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この回答へのお礼

回答ぁりがとうございました★

お礼日時:2009/07/31 20:17

>{an}:1,2,5,10,17,26,・・・


>などの等差数列を使う階差数列は分かるんですけど

教科書に an をどうやって求めればよいか書いてありますね。
それと同じです。
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