階差数列の解き方

{ａｎ}：1,2,5,10,17,26,・・・
などの等差数列を使う階差数列は分かるんですけど
{ａｎ}：5,6,4,8,0,16,-16,48・・・
の時に一般項ａｎを求める等比数列を使う階差数列の解き方がわかりません。

この場合、初項１、公比－２の等比数列の和を求めて
ａｎの初項５を足したらいいんでしょうか？

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2009/07/29 21:49

>{ａｎ}：1,2,5,10,17,26,・・・

>などの等差数列を使う階差数列は分かるんですけど

教科書に an をどうやって求めればよいか書いてありますね。
それと同じです。

No.2 回答者： naruseyuki 回答日時： 2009/07/30 04:22

p1nk_wh1teさんがおっしゃっているように、

「初項１、公比－２の等比数列の和を求めてａｎの初項５を足したらいい」です。

a_nの階差数列{b_n}:1,-2,4,-8,16,-32,64,…
なので{b_n}は初項１、公比－２の等比数列です。
そして、
a_n=a_1+b_1+b_2+…b_{n-1} を計算すればＯＫです。

階差数列が等差数列になるときと、b_nを作り一般項a_nを求める仮定はいっさい変わりません。ただし、等比数列の場合は、等比数列の和の公式
S_n={a(1-r^n)}/{1-r}
を正しく使えることが必要になります。
今回はb_1+b_2+…b_{n-1}=S_{n-1}={1-(-2)^{n-1}}/{1-(-2)}となります。

この回答へのお礼

回答ぁりがとうございました★

お礼日時：2009/07/31 20:17

No.3 回答者： FVZ 回答日時： 2010/04/30 14:08

まず，あまり知られていない定理を書いておきます。

定理：階差数列が等比数列である数列は、うまくずらすと公比が同じ等比数列になる。

{ａｎ}：5,6,4,8,0,16,-16,48・・・の階差数列は
{ｂｎ}：1,-2,4,-8,16,-32,64・・・で，
公比が-2の等比数列です。

そこで，元の数列の各項を＋xずらした数列
{ａｎ＋x}：5＋x,6＋x,4＋x,8＋x,0＋x,16＋x,-16＋x,48＋x,・・・
を考えます。
この数列が公比-2の等比数列になる（必要）条件は
　　（5＋x）×（－２）＝6＋x.　
この一次方程式を解くと ｘ＝-16/3.

{ａｎ-(16/3)}：-1/3,2/3,-4/3,8/3,-16/3,32/3,・・・
このずらして得られた等比数列の一般項が
ａｎ-(16/3)＝(-1/3)×(-2)^(n-1)=(1/6)×(-2)^n
なので
ａｎ＝(16/3)＋(1/6)×(-2)^n
と分かります。
(2010-04-30.FRI 14:07)