3次元の座標変換行列について教えて下さい！

[A]系で(0,0,-1)となるベクトルが[B]系で(1/√3,1/√3,1/√3)に変換されるような座標系変換行列Mを作りたいのですが、うまくいきません。
イメージは、立方体に垂直に入射してきたビームが座標系変換によって、立方体の１つの頂点から斜め45度方向に入射するようになるという感じです。[B]系での成分はマイナスがついても構いません、とにかく斜め45度方向に入射させたいのです。
私が考えたMは以下の通りですが、座標変換の結果が(0.707000, -0.499849, -0.499849)になってしまいました。
どこが間違っているのか、ご教示いただけましたら幸いです。

(1)X,Y,Z軸それぞれの45度回転行列MX,MY,MZを作る。
MX = [　1,　0,　　　0,　　　0
　　　　0,　cos45,　sin45,　0
　　　　0,　-sin45,　cos45,　0
　　　　0,　0,　　　0,　　　1　]

MY = [　cos45,　0,　　　-sin45, 0
　　　　0,　　　1,　　　0,　　　0
　　　　sin45,　0,　　　cos45,　0
　　　　0,　　　0,　　　0,　　　1　]

MZ = [　cos45,　sin45,　0,　0
　　　　-sin45,　cos45,　0,　0
　　　　0,　　　0,　　　1,　0
　　　　0,　　　0,　　　0,　1　]

並進移動を合わせた表記で、これは教科書に載っているので間違っていないと思います。

(2)MX,MY,MZを順にかけて、Mを作る。
M = MX * MY * MZ

45度方向なので、かける順序は気にしなくていいと思いました。

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#95312 回答日時： 2009/08/20 17:48

[1/√3,1/√3,1/√3] を [0,0,-1] に移す行列を求め、その逆を取ればよいのです。

先ず、z軸の回りに [1/√3,1/√3,1/√3] を π/4 回転させ、y-z平面上に移します。
そうすると、 [1/√3,1/√3,1/√3] の点の　y座標は √2/√3、z座標は 1/√3 となります。
それを、次に、x軸の回りにある角度回転させ、-z軸の負の方向に合わせます。
その角度は、今分かりませんが、それでも構いません。というのは、
y-z平面における y座標、z座標が分かっていて、その偏角をθとすると
-z軸の負の方向に合わせるための回転角のsin(θ+π/2)、cos(θ+π/2)が分かるからです。

スペースを節約するため、
sin(π/4) = cos(π/4) = 1/√2 = a
cosθ= √2/√3 = c、sinθ= 1/√3 = b
従って、cos(-θ-π/2) = 1/√3 = b、sin(-θ-π/2) = -√2/√3 = -c
と書くことにします。

始めの回転（z軸の回りに [1/√3,1/√3,1/√3] を π/4 回転）では、
[ a　-a　 0 ][b] = [0 ] = [0]
[ a　 a　 0 ][b]　 [2ab] [√2/√3]
[ 0　 0　 1 ][b]　 [b ] 　 [1/√3]

後の回転（x軸の回りに-θ-π/2回転）では、
[ 1　 0　0 ]
[ 0 b　c]
[ 0　-c　b]

これらの行列の積は、
[ a　 -a 　0]
[ ab　ab c]
[-ac -ac　b]

これの逆行列は、
[ ab^2+ac^2　　 -ab　　-ac ]
[-ab^2-ac^2　　 ab　 　-ac ]
[ 　0　　　　　-2a^2c 　2a^2b ]

これらに数値を代入すると、
[ 1/√2　 -1/√6　-1/√3 ]
[-1/√2　 1/√6　　-1/√3]
[ 　　0　　-√(2/3)　1/√3 ]

この回答へのお礼

さっそくの詳しいご回答、どうもありがとうございます。
私の考えたような単純なものではなく、このような工夫がいるのですね。大変助かりました、ありがとうございました。

お礼日時：2009/08/21 00:59

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/08/20 02:03

方向余弦が 1/√3, 1/√3, 1/√3 なので, 回転角がおかしいんじゃないでしょうか?

状況を思い描いてやると, MY*MZ によって (0, 0, -1) は (1/√2, 0, -1/√2) になりますがそのあとの MX では x座標が変化しません.
(1/√3, 1/√3, 1/√3) に直交するベクトルとして (1/√2, -1/√2, 0) がとれます. すると, これらに直交するベクトルはこれらの外積として求まりますから, 適当に x, y, z軸を対応させれば求まるっちゃ求まりますね.

この回答へのお礼

さっそくのご回答、どうもありがとうございます。
答えから導く方法もあるのですね。参考になりました。

お礼日時：2009/08/21 00:57