No.1
- 回答日時:
「f ''(a)not=0ならば、f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh)
においてh→0のときθ→1/2となることを示せ。」
という問題を解くにはどうやったらいいでしょうか?
h=b-a と置けば、
f(b)=f(a)+(b-a)f'(a+θ(b-a))
{f(b)-f(a)}/(b-a)=f'(a+θ(b-a))
点a,bの間に点cを取ると、
(c-a)/(b-a)=θ
c=a+(b-a)θ になるね。
{f(b)-f(a)}/(b-a)=f'(c)
平均値だから半分のところにc点は取るよね。
ということで、θ=1/2 だね。
「平均値の定理」というのを参考にするといいね。
早い回答ありがとうございます。高校の時に数(3)まで勉強してなかったので、大学生になって「平均値の定理」なども聞くようになりました。改めて勉強してみます。またわからないことがあったら、よろしくお願いします。
No.2
- 回答日時:
こんにちわ。
この問題はテイラー展開を用いて答えを導きます。
---証明-----------------------------------
まず、f(a+h)=f(a)+hf´(a+θh)のf´について、
再び平均値の定理を使うと、
f´(a+θh)=f´(a)+θhf"(a+θ´θh)となるような
が存在する。これを最初の式に代入すると、
f(a+h)=f(a)+hf´(a)+θ(h^2)f"(a+θ´θh)…(ⅰ)
一方、2階までのテイラー展開は
f(a+h)=f(a)+hf´(a)+(1/2)*(h^2)f"(a+θ"h)…(ⅱ)
となるθ"(0<θ"<1)が存在する。
(ⅰ)と(ⅱ)を等しいとおくと、
θf"(a+θ´θh)=(1/2)*f"(a+θ"h)
が成り立つ。f"(x)が連続だから、h→0とすると、
f"(a+θ'θh)→f"(a)
f"(a+θ"h)→f"(a)
となる。f"(a)≠0だから十分小さいhに対して、
f"(a+θ´θh)≠0
である。従って、
θ=(1/2)*{f"(a+θ"h)/f"(a+θ´θh)}
→(1/2)*{f"(a)/f"(a)}=1/2(h→0)
-----------------------------------q.e.d.----
ところで、証明の中でf(x)がC^2-級関数であることを
使ってしまいましたが大丈夫でしょうか?
それでは、頑張って下さい。
丁寧な回答ありがとうございます。not=がきちんと入力できてうらやましいです。C^n-級関数については聞いたことはありますが、実はまだよくわかっていません。この機会に改めて勉強し直そうと思います。またわからないことがあったら、よろしくお願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
もっと原始的な解き方です。
f(a+h)=f(a)+hf '(a+θh)
この式を、h で微分します。
f '(a+h)=f '(a+θh)+ hθf ''(a+θh)
式を変形して
f '(a+h)-f'(a)+f'(a)-f '(a+θh)=hθf ''(a+θh)
この左辺は
<{f '(a+h)-f '(a)}/h>*h-<{f '(a+θh)-f '(a)}/θh>*θh
となります。
両辺をhで割ります。
<{f '(a+h)-f '(a)}/h>-<{f '(a+θh)-f '(a)}/θh>*θ = θf ''(a+θh)
ここで、hを0近づけて
f ''(a)-θf ''(a)=θf ''(a)
両辺を f ''(a)で割ると
1-θ = θ
となるので、θ=0.5
ただし、f ''(x)が、点 a で連続である事を使いました
わかりやすい回答ありがとうございました。証明の途中の言葉の説明もわかりやすいです。またわからないことがあったら、よろしくお願いします。
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