この関数の問題を解いてください

y=3/4x^2上に、二点A（-2、3）、B（4,6）があって、直線ABの傾きは3/2です。
このとき、原点をOとすると、△AOBを、直線ABを軸に一回転して出来る立体の体積を求めるという問題です。ちなみに円周率はπです。

お願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： debut 回答日時： 2009/11/15 20:17

No4です。

あっ、Ｂは(4,12)でしたね。（No4の回答は、なかったことに・・）

直線ＡＢの式はy=(3/2)x+6なので、△ＡＯＢの面積は18。
ＡＢの長さは3√13なので、直線ＡＢに下ろした垂線の長さ(h)は
3√13ｈ÷2=18から、ｈ＝12/√13
よって、求める回転体の体積は、底面の半径が12/√13、高さが
3√13の円すいの体積と等しくなります。

（実際は大きな円錐から小さな円錐を引くはずですが、底面の半径
　が変わらなければ、底面は直線ＡＢ上のどこに移動しても体積は
　変わりません。
　試しに、Ｏから直線ＡＢに垂線ＯＨを引いたとすれば、
　　求める体積＝πOH^2×BH×(1/3)ーπOH^2×AH×(1/3)
　　　　　　　＝(1/3)πOH^2(BH-AH)
　　　　　　　＝(1/3)πOH^2BA
　と、底面が半径OHの円、高さがABの円錐の体積となりました）

No.4 回答者： debut 回答日時： 2009/11/15 12:06

直線ＡＢの式は、y=(1/2)x+4なので、切片は４です。

ここから、△ＡＯＢの面積は、ｙ軸で切って左が４×２÷２＝４、
右が４×４÷２＝８で、12と計算できます。

一方、ＡＢの長さは、三平方の定理から３√５となるので、△ＡＢＣ
の面積をＡＢを底辺として考えれば、その高さ(ｈ)は、
３√５ｈ÷２＝12から、ｈ＝８/√５と求められます。

そして、このｈというのはＯからＡＢにおろした垂線の長さなので
これを求める回転体(円錐が２個、底面を共有して連結した形)の
底面の円の半径とし、ＡＢの長さを高さとしてやれば、求める回転体
の体積が求められます。

※この円錐のように、底面を共有して２つくっついた形(A)の体積は
　普通の底面が下に１つある円錐(B)の体積と等しくなります。
　（もちろん、(A)と(B)の底面の半径は等しく、(A)の高さの合計と
　(B)の高さが等しいことは当然ですが、念のため。）

この回答へのお礼

わかりやすい説明ありがとうございます。

これからもよろしくお願いします。

お礼日時：2009/11/15 23:32

No.3 回答者： info22 回答日時： 2009/11/15 05:18

原点から直線ABに下ろした垂線の足をH、直線ABとY軸、X軸との交点を

それぞれC、Dとし、OH=Rとおくと、C(0,6)、D(-4,0)
３平方の定理より
OA=√(3^2+2^2)=√13、OB=√(4^2+12^2)=4√10、
DC=√(4^2+6^2)=2√13
直角△COD∽直角△CHOより
OH:OC=DO:DC → R=OH=OC*DO/DC=6*4/(2√13)=12/√13
３平方の定理より
BH=√(OB^2-OH^2)=√(160-(144/13))=44/13
AH=√(OA^2-OH^2)=√(13-144/13)=5/√13
回転体の体積Vは次の通り
V=(円錐BOH)－(円錐AOH)　
=πR^2*(AH-BH)/3=？　　←上で求めた値を代入するだけ。

No.2 回答者： tk0840 回答日時： 2009/11/15 00:20

どんな立体になるかわかりますか？

円すいになりますよね

底面積と高さがわかれば求められます．
高さは直線ABとなります．ABの長さは三平方の定理で出せます．

底面の半径は直線AOとなります．
これも三平方の定理でわかります，

No.1 回答者： 4028 回答日時： 2009/11/14 23:51

＞二点A（-2、3）、B（4,6）があって、直線ABの傾きは3/2です

上からＡＢの傾きを求めると1/2になるんですが・・・
どこか間違ってますよね？

一次変換で回転させてＡＢをｘ軸に移せば解けます。

(cosθ -sinθ)
(sinθ cosθ)
に傾き1/2ならθ＝－４５°を代入して回転させれば
解けると思います。

この回答への補足

すいません。
B（4、12）でした。

あと高校受験向けの問題なので、三角関数？は使わないでください。

補足日時：2009/11/15 00:00