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x1,x2は正規分布しているとします.

z=max(x1,x2)

と,いずれかの最大値を選択するとします.
(x1から2つサンプリングしてもいいのですが・・・)

このとき,それぞれの期待値について次の関係,

E(z)>=E(x1)
E(z)>=E(x2)

が成立することを証明せよ.という問題を教えて下さい.

ガンマ関数とか使う解法はネットで見つけたのですが,
図形的とか,わかりやすい証明はできないでしょうか?

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A 回答 (4件)

何度もごめんなさい。

期待値の単調性が使えるなら、z≧x1から直接
E[z]≧E[x1]
が導けてしまいますね・・・。ですから、No.3での証明はとても変でした。

No.1で意図していたのは、「常に非負の値をとる確率変数の期待値は非負になる」ことから
E[z-x1]≧0
を得て、期待値の線型性から、左辺が
E[z]-E[x1]
となって、結局
E[z]≧E[x1]
となることがわかるというものでした。すみません。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました.
とてもよくわかりました.

お礼日時:2009/11/26 21:40

z-x1≧0 という関係はいいですよね、小さくないほうをとっているので。

2つの確率変数 z-x1 と 0 に対して、参考URLにある期待値の性質の単調性を用いると、
E[z-x1]≧E[0]
が導けます。左辺に、線型性を適用すると、
E[z-x1]=E[z]-E[x1]
になります。右辺は、
E[0]=0
です。なので、
E[z]-E[x1]≧0
となりますよね。もし、kamiyasiroさんが望むものでなかったら、ごめんなさい。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%9F%E5%BE%85% …
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期待値の単調性も使いますね。

ごめんなさい。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます.
しかし,書いて頂いた語数が少なく,
私には何のことかさっぱりわかりません.

もう少し具体的にご説明頂けないでしょうか?
お願いします.

お礼日時:2009/11/25 23:58

z-x1≧0, z-x2≧0 と期待値の線型性を利用してみてはどうでしょうか。

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