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A 回答 (5件)
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No.5
- 回答日時:
#5のご回答でeatern27さんが模範解答を大部分示して下さったのですが,質問者さんの反応がずっとないようなので,このあたりの分野は不慣れなものと判断して,解答の続きを示しておきます.
ただし,#5のご回答中の「αが整数でないとすると、」
という部分は[解1]では仮定せずに,次のように話を出発することにします.
[解1]
有理数解αが存在したとすると,
一般性を失うことなく
α=n/m ただし「m,nは整数で互いに素,m>0」
とおける.
以下,#5さんのご回答と同様,与式のxにα=n/mを代入して,m^2を掛けて整理,変形すると
n^2=-m(an+bm)
まで来ます.
ここで,a,b,m,nは整数より,an+bmは整数だから,右辺はmの倍数なので,mで割り切れます.
すると,左辺のn^2もmで割り切れなくてはなりません.
ところが,そうするとmとnが互いに素(つまり最大公約数が1・・・@)であることと,m>0の仮定により,m=1に限られます.
なぜならば,もしm≧2とすると,mは2以上のある素因数k(≧2)をもちますが,n^2がmで割り切れることより,nも素因数kで割り切れることになります(∵素数kはこれ以上分解できないので,nそのものがkで割り切れなくてはならない).
そうすると,mとnが1より大きな公約数kをもつことになって,「互いに素」(条件@)に反することになるからです.
したがってm=1なので,解α=n(=整数)となる.
(証明おわり)
[解2]#5のように,背理法でいくとすると,
有理数解αが整数でないと仮定すると,
α=n/m と表せる.但し「n,mは整数で互いに素,m≧2」を満たすように一般性を失うことなく表現できる.[m=±1だとαが整数になるから]
というように出発して,
n^2=-m(an+bm)
のところから続けます.
右辺がmで割り切れるので,左辺n^2もmで割り切れなくてはならない.
ここで,m≧2の仮定よりmは素因数k(≧2)を持つが,
そうすると,左辺n^2もkを素因数に含むこと,すなわちn自身がkで割り切れることになる.
ところがそうすると,mとnが2以上の公約数kをもつことになって互いに素の仮定に反す.
これは矛盾であり,したがって有理数解αが存在したとすればそれは整数である.
(証明おわり)
No.4
- 回答日時:
αが整数でないとすると、
α=n/m と表せる。但しn,mは整数で互いに素、m>0を満たす。
x^2+ax+b=0にx=α=n/mを代入すると
(n/m)^2+a(n/m)+b=0
両辺にm^2をかけて
n^2+anm+bm^2=0
両辺からanm+bm^2を引いて
n^2=m(-an-bm)
(-an-bm)は整数だから、右辺はmの倍数です。左辺は?
No.3
- 回答日時:
>一般性を失うことなく
>α=n/m ただし「m,nは整数で互いに素,m>0」
>とおけます.
あとは解と係数の関係を使って、m≠1だと矛盾することを導きましょう。
(解αが有理数なら、もう一つの解も有理数であることはすぐに言えますね。)
【2次方程式の解と係数の関係】
ax^2+bx+c = 0 (a≠0) の2つの解をα、βとすると
α+β=-b/a、αβ=c/a である。
No.1
- 回答日時:
>α=n/m(m、nは自然数でお互いに素)と仮定するといっったふうに??
全くその通り.ただし,「m、nは自然数で互いに素」ですね.
分母を払って,m=1を示すことを目標に.
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