xについての方程式x^3+ax^2+bx+8=0が3つの実数解α,β,γ(α<β<γ)を持ち、それらがある順序で等比数列をなし、また、ある順序で等差数列をなす。このとき、定数a,bおよびα,β,γの値を求めよ。
解答には、α<β<γよりα,β,γの順に並んでいる。
等差数列だから2β=αγ,等比数列だからb^2=acとなる。
等差数列の考えはこれで良いが、等比の場合b^2=acとa^2=bcとc^2=abという3通りを考えなけ ればならないみたいです。
これと、解と係数の関係よりα+β+γ=-a
αβ+βγ+γα=b
αβγ=-8を使って解くみたいなんですが、こっから代入しまくるら しいんですが、どうに始めて最後まで解けばいいかわかりません。
わかる方いましたら、ぜひ教えてください!!お願いします!!
No.4
- 回答日時:
文字化けしていてすみません。
式に番号を付けて、順に求めていきましょう。
等差数列より、2β=α+γ ―――(ア) 等比数列より、β^2=αγ ―――(イ)
解の公式より
α+β+γ=-a ―――(ウ) αβ+βγ+γα=b ―――(エ) αβγ=-8 ―――(オ)
とします。
(ア)と(ウ)より、3β=-a ―――(カ) と(オ)より、β^3=-8 ―――(キ)
(キ)より β=-2 がわかる。 そして、これを(カ)に代入して、 a=6 だとわかる。
β=-2 と a=6 を(ウ)(オ)に代入して、
α+γ=-4 ―――(ク) αγ=4 ―――(ケ)
となるので、(ク)(ケ)より、α=γ=-2 であることがわかります。
最後に(エ)に代入すれば、 b=12 となり、全て求めることができます。
No.3
- 回答日時:
式に番号を付けて、順に求めていきましょう。
等差数列より、2β=α+γ ―――? 等比数列より、β^2=αγ ―――?
解の公式より
α+β+γ=-a ―――? αβ+βγ+γα=b ―――? αβγ=-8 ―――?
とします。
?と?より、3β=-a ―――? ?と?より、β^3=-8 ―――?
?より β=-2 がわかる。 そして、これを?に代入して、 a=6 だとわかる。
β=-2 と a=6 を???に代入して、
α+γ=-4 ―――? αγ=4 ―――?
となるので、??より、α=γ=-2 であることがわかります。
最後に?に代入すれば、 b=12 となり、全て求めることができます。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>等差数列の考えはこれで良いが、等比の場合b^2=acとa^2=bcとc^2=abという3通りを考えなければならないみたいです。
そんな事はない。
条件から、α^2=βγ、or、β^2=αγ、or、γ^2=αβ。
従って、(α^2-βγ)*(β^2-αγ)*(γ^2-αβ)=0 ‥‥(1) である事が必要十分条件。
αβγ=-8 からαβ=-8/γ、βγ=-8/α、αγ=-8/β であるから (1)に代入すると (α+2)*(β+2)*(γ+2)*(α^2-2α+4)*(β^2-2β+4)*(γ^2-2γ+4)=0となる。
(α^2-2α+4)*(β^2-2β+4)*(γ^2-2γ+4)>0 より(α+2)*(β+2)*(γ+2)=0 つまり 少なくても1つの解は -2であるから原式に代入すると、b=2a ‥‥(2)
同様にして、等差数列の場合も 2γ=α+β、or、2β=γ+α、or、2α=β+γ であるから (2γ-α-β)*(2β-γ-α)*(2α-β-γ)=0 ‥‥(3)
α+β-2γ=(α+β+γ)-3α=-(3α+a)等より、(a+3α)*(a+3β)*(a+3γ)=a^3+3(α+β+γ)a^2+9(αβ+βγ+γα)a+27αβγ=0.
解と係数から、2a^3-9ab+216=0 → (2)から a^3-9a^2+108=0‥‥(4)
(4)を因数分解すると、(a+3)*(a-6)^2=0 となる。 以下、省略。
こういう場合は、出来るだけ“対称性”を使った方が良い。
No.1
- 回答日時:
式に番号を付けて、順に求めていきましょう。
等差数列より、2β=α+γ ―――? 等比数列より、β^2=αγ ―――?
解の公式より
α+β+γ=-a ―――? αβ+βγ+γα=b ―――? αβγ=-8 ―――?
とします。
?と?より、3β=-a ―――? ?と?より、β^3=-8 ―――?
?より β=-2 がわかる。 そして、これを?に代入して、 a=6 だとわかる。
β=-2 と a=6 を???に代入して、
α+γ=-4 ―――? αγ=4 ―――?
となるので、??より、α=γ=-2 であることがわかります。
最後に?に代入すれば、 b=12 となり、全て求めることができます。
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