解いてみてくれませんか、意見が聞きたいです・・

Question

《問題》なめらかな壁に片方の端に質量ｍの大きさが無視できる重りが付いていて他の質量を無視できる棒が立てかけてあります。重りの付いている方が壁とＡ点で接しているとして、棒と壁のなす角度がθになったときに棒が床にすべり落ちました。棒と床はＢ点で接していて摩擦があり、摩擦係数をμで表すことにします。μの値をθを用いて表しなさい。

htms42 · Accepted Answer

＞他の回転運動を含む剛体のつり合いもまた二点におけるつり合いの条件で解くことによってモーメントを使う場合とおなじ答えを得られるにもかかわらず、・・・

この部分についてです。

参考ＵＲＬに書いてある結果がモーメントを使わないで出したようになっていることがこの文章の背景にあるのでしょうね。

力のつりあいについて復習しておきます。
（１）物体に２つの力が働いていてつりあっているとき
　　・２つの力は同一線上にあります。
　　・２つの力は大きさが等しくて方向が逆です。
　　　（もし、同一線上になければ物体は回転します。同一直線状にないという場面は物体に大きさがあるという場合にしか起こりません。）
（２）物体に３つの力が働いていてつりあっているとき
　　・３つの力は同一平面状にあります。
　　・３つの力はすべて平行であるか、どの２つも平行でないかのどちらかです。
　（イ）３つの力が平行である場合、
　　　向きを＋－で区別すると３つの力の和が０になります。
　　　　Ｆ１＋Ｆ２＋Ｆ３＝０　　　　（Ａ）
　　　（イ－１）３つの力が同一線上にあるとき
　　　　　　　　２つの力を与えると残りの１つが決まります。
　　　（イ－２）３つの力が同一線上にないとき
　　　　　　　　３つの力の働いている位置関係がわかれば１つの力を与えると残りの２つが決まります。回転の釣り合いという条件がひとつ増えるからです。モーメントの計算が必ず必要です。天秤の釣り合いをモーメントを使わずにやることはできません。

　　（ロ）どの２つの力も平行でないとき　
　　　　３つの力の作用線を延長すると１点で交わります。
　　　　この幾何的な条件を踏まえたうえで３つの力の合力＝０です。
　　　　Ｆ１，Ｆ２，Ｆ３をベクトルとして考えて（Ａ）と同じ式が成り立ちます。
　　　　　　Ｆ１＋Ｆ２＋Ｆ３＝０　　　（Ａ’）

（３）４つの力が働いているとき
どれか２つの力を合成して（２）の場合に持っていくことができるはずです。力の合成は作用線の延長線の交点で行います。

（２）の（ロ）ではモーメントを使っていません。その代わりに幾何的な条件を使っています。どちらでも同じ結果が出てきます。３つの線が１点で交わるというのは特別な条件です。つりあいだけで出しているのではありません。つりあいは（Ａ’）です。作用線を延長したものが一点で交わるという条件を一般の場合に当てはめて計算するのは面倒な場合が多いです。モーメントの計算は力を成分に分けて計算できますのでどの場合に対しても同じ手順になります。剛体の場合、モーメントの計算で解くと書かれているのはどの場合にも同じ手順を当てはめることができるからです。釣り合いが成り立たない場合どういう回転が起こるかに対する予想も立てやすいです。どちらの方法にも物理的な意味があります。（２）の（ロ）は釣り合いが成り立っている場合でしか使うことができません。回転に関する運動方程式を立てようと思えばモーメントが必要です。Ｆ＝ｍａに対応するのがＮ＝Ｉｄω／ｄｔです。Ｎはトルク、Ｉは慣性モーメントです。トルクＮはつりあいで回転のモーメントといっているものと同じです。

参考ＵＲＬでモーメントを使っていないように見えるのは
床との接点で棒に働いている２つの力（摩擦力と垂直抗力）の合力Ｇ１の方向が棒の方向であるという結果を使っているからです。壁との接点で棒に働いている２つの力の合力Ｇ２の方向はやはり棒の方向です。そうでないとつりあいません。作用線が一致しなくなります。でもこういうことが言えたのは棒の質量が端にある錘だけで代表されているという特殊な状況だからです。棒の重心が棒の端になければ合力Ｇ１の方向は棒の方向とは一致しなくなります。
　
棒の重心が棒の中央にある場合の図が＃５にあります。
２つの力、Ｎ１とｍｇの作用線の交点が合力の作用点です。重心の真上にあります。その点とＢ点を結んだ線が合力の働く方向です。これでＮ２とＦの合力とつりあいます。Ｎ２とＦの比も決まります。回転は起こりません。この方向は棒の方向ではありません。したがってμ＝ｔａｎθでもありません。すべての結果はモーメントで解いたのと同じです。　

参考ＵＲＬではＢ点で棒に働く力の合力の方向は常に棒の方向であるとしています。それが静止最大摩擦力の表現　μ＝ｔａｎθ　が質量の分布によらず一定であると言う結論を出してしまっている理由です。思い込みで解いているのに、教科書が間違っているとか、重心が高くなるような逆回転が起こるはずだとか言っているのです。

軽い棒の中央に錘をつけます。錘を重くすると、たわんだり、折れたりするはずです。常に棒の方向に力が働くのであればこういうことは起こりません。

htms42 · Answer

＃７です。
＞棒のＢ点に接していた部分の質量は水平方向に動く
棒は確かに横に動きます。
でも棒には質量がないとしているのでしょう。
運動方程式は質量のある物体についてしか立てることはできません。
運動方程式を立てることができるのはＡにある錘についてだけです。

＞＞他の回転運動を含む剛体のつり合いもまた二点におけるつり合いの条件で解くことによってモーメントを使う場合とおなじ答えを得られるにもかかわらず・・・
剛体のつりあいには、力のつりあいとモーメントの釣り合いとの両方が必要です。つりあいの条件があればモーメントがいらないということはありません。この３つが必要であるというのは高等学校の教科書に出てきています。
混乱の原因はこの辺りにもありそうですね。

＃５の回答ではμ＝(1/2)ｔａｎθがおかしいと補足欄に書いてあることに対してキチンと導いています。上下、左右のつりあい、一点の周りでの回転のモーメントのつりあいの３つを使っているはずです。その回答にはコメントが書かれていません。そこに書かれていることを無視して私の回答に対してこのようなコメントを書くというのはおかしいです。「高等学校の教科書が間違っている」ということまで書いておられるのですから「間違っているのではない」という回答が出ればキチンとそれに対応すべきです。自分の考えのどこがおかしかったのかわかってもらわないと困ります。

つりあいの問題が解けないのであれば運動動方程式で考えないといけない問題は到底無理です。

逆の回転が起こるかどうかは棒を壁に立てかけてやってみればすぐにわかります。重心が高くなるような回転は起こらないのです。重心が中央付近にあっても端にあっても同じです。位置エネルギーから運動エネルギーに移るのですから必ず重心は下がります。
起こらないはずのことが起こるような結果が出てくれば考え方が間違っているか計算が間違っているかです。

逆回転が起こるはずなのに、・・・
教科書が間違っている！

こういう結論の出し方はおかしいですね。

「自分のやって計算では起こらないはずのことが起こるという結果が出た。どこに考え方の間違いがあるかわからないので教えてほしい」という質問であれば意味がわかります。

htms42 · Answer

>するとＢ点を中心とした力のモーメントがつり合わなくたった際には棒は壁から離れて逆回転しなければなりません！

壁からの抗力Ｆ１が摩擦力Ｆ２よりも大きくなるような場合が起こった（静止摩擦力でつりあっているとして出した式で静止摩擦係数を出したら与えられている静止摩擦係数よりも大きくなった）ときどういうことが起こるかということです。
釣り合いが実現しているとして出したが実は釣り合いが実現していなかったということです。
そのときどういうことが起こるかは釣り合いを前提とした式からはわかりません。Ｆ１を求めた式自体無効になっています。

ご質問の文章で
床の摩擦がないとしてみてください。
角度θになるように立てかけて手を離します。質量ｍの錘はただまっすぐ下に落ちるだけです。質量のない棒がついていても運動には関係がありません。質量のない糸がついているのと同じです。
手で動かないような状態にして支えていた段階では確かに抗力が存在します。手を離した後までその抗力がずっと働いていると考えるからおかしくなるのです。（ごく短い時間は持続します。少しへこんでいた壁が元に戻るぐらいの時間です。その力で接触していた壁から離れるのです。離れればもう力は一切働かなくなります。）

棒と床の接点を軸にして回転するということが起こるためには接点で棒が滑らないように支えていなければいけません。
先に車をつけた棒を押して歩いてみてください。車が滑らかに動いていてば棒が（鉛直に近い方向に）回転するということは起こりません。そういう回転が起こるのは下につけた車の回転が悪くなったときです。摩擦が大きくなったときに対応します。


補足欄に書いてある内容はあなたの考えではないですね。すべて引用ＵＲＬの中にある文章のままですね。
ブログを書いている人もあなたも高等学校の物理をまともに勉強していないですね。それでどうして高等学校の教科書に書いてあることは間違っていると言えるのでしょうか。

この質問自体「こういう文章を見つけたけれどどう思われますか」でなくて、出所を隠して意見を聞くという形です。問題点の指摘もありません。
「回答者を試す」ような内容です。丸投げよりもよくないことではないですか。禁止事項のはずです。

yokkun831 · Answer

ご紹介のあったページからの引用です。

>この場合、棒を横にすべらせる力に一致するのはＡ点におけるＦ1であり、Ｂ点におけるＦ2は静止摩擦力ですから、困ったことにはＦ1＞Ｆ2になったときに棒が動くはずなのです。

これは正しいですよ。ですからすべったときに棒の重心はちゃんと右へ移動します。

>するとＢ点を中心とした力のモーメントがつり合わなくたった際には棒は壁から離れて逆回転しなければなりません！

なぜそうなるのでしょう？　動き始めたとき，どちらに回転するかは重心まわりの回転の運動方程式によって判断しなければなりません。回転軸をどこにとっても成立するのは，力のつり合いが成立している場合の角加速度ゼロの回転の運動方程式，すなわち力のモーメントのつりあいの式です。この点に重大な勘違いがあるのではないでしょうか？

BookerL · Answer

＃３です。

＞「重りの位置がどこにあっても逆の端っこでない限りは摩擦力についての関係は常におなじ」だと思うのです。

　そう思いますか？だったら、おもりが棒の下端にあっても同じに思えますか？

＞すると当然の事ながら重りが棒の中心に付いている場合だって同じですよね？

　当然、違ってきます。

　添付の図で、図１・図２とも、水平・鉛直での力のつりあいより、Ｆ＝Ｎ1 、ｍｇ＝Ｎ2 の関係が成り立ちます。
　Ｂのまわりの力のモーメントを考えると、
　　図１では、ｍｇＬsinθ＝Ｎ1Ｌcosθ　……(1)
　　図２では、ｍｇ(1/2)Ｌsinθ＝Ｎ1Ｌcosθ　……(2)
となります。

　図１でμとθの関係を考えると、(1)より
　　ｍｇ・Ｌsinθ＝Ｎ1Ｌcosθ　　← Ｆ＝Ｎ1 を使って
　　　　　　　 ＝Ｆcosθ
　Ｆについて整理して
　　Ｆ＝ｍｇtanθ　　←　ｍｇ＝Ｎ2 を使って
　　　＝Ｎ2tanθ　……(3)

　一方、摩擦係数の定義から　Ｆ＝μＮ2　……(4)

　(3)(4)より、μ＝tanθ
　

　図２でμとθの関係を考えると、(2)より
　　ｍｇ・(1/2)Ｌsinθ＝Ｎ1Ｌcosθ　　← Ｆ＝Ｎ1 を使って
　　　　　　　 ＝Ｆcosθ
　Ｆについて整理して
　　Ｆ＝(1/2)ｍｇtanθ　　←　ｍｇ＝Ｎ2 を使って
　　　＝(1/2)Ｎ2tanθ　……(5)

　一方、摩擦係数の定義から　Ｆ＝μＮ2　……(6)

　(5)(6)より、μ＝(1/2)tanθ

yokkun831 · Answer

>すると当然の事ながら重りが棒の中心に付いている場合だって同じですよね？

違うのではないでしょうか？力のモーメントのつり合いでは，あきらかにおもりがどこについているかで全く異なります。そうでなければ，下までどうやって連続に変化していけるのでしょう？

>それは棒の線密度一定条件と一致いたします。
>ところが高等学校の物理学ではμ＝tanθ/2になっておるのですよ！

これは，ここで与えられた問題とは異なりませんか？　一様な棒だったら，重心が中央になりますから当然そうなると思います。

BookerL · Answer

丸投げの形になっているので、概略だけ。

Ｂ点で棒に働く力は、床からの垂直抗力と摩擦力です。

＞他の質量を無視できる棒

の、「他の」というのが分からないのですが、単に「質量を無視できる棒」とすると、棒に働く鉛直方向の力は、おもりからの ｍｇ とＢ点からの垂直抗力だけなので、垂直抗力の大きさは ｍｇ です。

　tanθ＝最大摩擦力/垂直抗力

の関係があり、静止摩擦係数をμとすると、最大摩擦力が μ×垂直抗力＝μｍｇ なので、これを整理するとμとθの関係が出てきます。

　解き方の大筋は以上の感じですが、何の意見を聞きたいのでしょうか？

maccha_neko · Answer

まず自分の解答を示すべきでは？

解いてみてくれませんか、意見が聞きたいです・・

＞他の回転運動を含む剛体のつり合いもまた二点におけるつり合いの条件で解くことによってモーメントを使う場合とおなじ答えを得られるにもかかわらず、・・・

この回答への補足

＃７です。

この回答への補足

>するとＢ点を中心とした力のモーメントがつり合わなくたった際には棒は壁から離れて逆回転しなければなりません！

この回答への補足

ご紹介のあったページからの引用です。

この回答への補足

＃３です。

この回答への補足

>すると当然の事ながら重りが棒の中心に付いている場合だって同じですよね？

この回答への補足

丸投げの形になっているので、概略だけ。

この回答への補足

まず自分の解答を示すべきでは？

この回答への補足

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　丸投げの形になっているので、概略だけ。