No.1ベストアンサー
- 回答日時:
質点が半径aの円の周上を滑って行くいわゆる拘束条件付の問題ですね。
極座標で書くよりもx、y座標で書いた方が取り扱い易くなります。そこで、円の中心を原点とし、鉛直方向にy軸の正の方向をとることにします。ラグランジアンはL=T-U(T:運動エネルギー、U:位置エネルギー)と書けますから、この場合ラグランジアンはL=(1/2)m{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}-mgy (1)
となります。拘束条件は
x^2+y^2=a^2 (2)
で与えられます。(2)の変分(仮想変位:まぁ微分と考えていいでしょう)を取りますと拘束条件は
xδx+yδy=0 (3)
となります。拘束条件が(3)式のようになるとき、ラグランジュの方程式は、未定定数をλとしますと
d/dt(∂L/∂x')-∂L/∂x=λx
d/dt(∂L/∂y')-∂L/∂x=λy (4)
と書かれます。このλx、λyという項は一般化拘束力などとと呼ばれたりしています。
さて、(4)を具体的に計算しますと
mx"=λx
my"+mg=λy (5)
が得られます。これから質点に対する円の反作用のx成分をNx、y成分をNyとしますと
Nx=λx、Ny=λy
であることが分かります。
後やることは(5)を解いて行くことですが、結構煩雑になりますのでこの辺でやめておきます。しかし、それでは余りにも余りなので、もし突っ込んで勉強されるならGOLDSTEINの古典力学を推奨しておきます。第(2)章の演習問題にこれと同じ問題が載っています。解答集(古典力学演習)も出ていますので、本屋で立ち読みなどをされては如何でしょうか。
No.2
- 回答日時:
エ~っと、追記になりますが、下記のURLを見てください。
直交座標て解いた場合と極座標を使って解いた場合の2つのケースが載っています。非常にスマートに解かれていますのでご参考になると思います。参考URL:http://chaosweb.complex.eng.hokudai.ac.jp/~j_inoue
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