積分 部分分数分解
積分 部分分数分解
∫[0~1](3x-1)/((x+1)(x^2+1))dxを求めよ。
回答を読んでも理解できないので教えて下さい。
添付画像の2段目の2x+1/(x^2+1)=(x/(x^2+1))+(1/(x^2+1))
が理解できません・・・
回答が間違っているのでしょうか?
昨日部分分数分解で質問させていただきましたので、そちらのURLも載せておきます。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5809154.html
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
じ~っと見ればわかりますが,
2x+1/(x^2+1)=(x/(x^2+1))+(1/(x^2+1))
とはしていません.
でも, なんで 2 を出しちゃうかなぁ.
この回答への補足
あーーーーっ!!
理解できました。
2x+1を分解しただけですね。部分分数分解ばかり考えていたので気づきませんでした・・・
ところで、
3x-1/(x+1)(x^2+1)=(a/(x+1))+(b/(x+i))+(c/(x-i))
と部分分数分解できないのでしょうか?
こうすると答えに虚数が出てきてしまうのですが・・・
No.5
- 回答日時:
> (3x-1)/{(x+1)(x^2+1)} = (3x-1)/{(x+1)(x+i)(x-i)} = a/(x+1) + b/(x+i) + c/(x-i)
この問題に限れば、
a = (3x-1)/(x^2+1)|_x=-1 = -4/2 = -2
を求めたあと、
(3x-1)/{(x+1)(x^2+1)} - a/(x+1) = (Bx+C)/(x^2+1)
と勘定できる。
…ので、お試しを。
No.4
- 回答日時:
試しに…。
(3x-1)/{(x+1)(x^2+1)} = (3x-1)/{(x+1)(x+i)(x-i)} = a/(x+1) + b/(x+i) + c/(x-i)
両辺に (x+i) をかけて、x = -i を代入すると、
(-3i-1)/{(-i+1)(-2i)} = (1-2i)/2 = b
両辺に (x-i) をかけて、x = i を代入すると、
(3i-1)/{(i+1)(2i)} = (1+2i)/2 = c
↓
b, c は互いに共役な複素数 (虚数と書いたのはミスでした) 。
↓
b/(x+i) + c/(x-i) が実係数の有理式になることを確かめてみて…。
この回答への補足
何度も親切にご回答ありがとうございます。
お礼が遅くなり申し訳御座いません。
>この問題に限れば、
>a = (3x-1)/(x^2+1)|_x=-1 = -4/2 = -2
>を求めたあと、
>(3x-1)/{(x+1)(x^2+1)} - a/(x+1) = (Bx+C)/(x^2+1)
>と勘定できる。
ご回答のやり方が一番近道でミスが無いように思いました。ありがとうございます。
>b/(x+i) + c/(x-i) が実係数の有理式になることを確かめてみて…。
有理式にできませんでした・・・
No.3
- 回答日時:
理屈だけでよければ,
(3x-1)/[(x+1)(x^2+1)] = a/(x+1) + b/(x+i) + c/(x-i)
から右辺の原始関数を
a log(x+1) + b log(x+i) + c log (x-i)
とすることはできます.
ただし, このまま「x に 0 を代入して~」とかやっちゃうと面倒な感じがします. 複素積分として気をつけて扱えばできそうだけど, それよりは分母を 2次のまま残しておいた方が安全だと思います.
前のときに上の形の分解を見せたのは, 実はその後で複素数の出ない形 (つまり上の後ろ 2つの項をまとめた形) にすることを想定してます.
この回答への補足
ご回答ありがとうございます。虚数を利用するのは得策とは言えないようですね。
地道に係数比較を行って解いたほうが近道のようです。
ところで、部分分数分解の原則として、分解して得られる分数において、
「分子の次数が分母の次数より1だけ低い形」と以前ご回答頂いたのですが、
例えば、(((3X^2)+1)/(1+X)(1+X^2))のような関数は部分分数分解出来ないのでしょうか?
また、この関数を積分する方法はどういった方法なのでしょうか?
No.2
- 回答日時:
>ところで、3x-1/(x+1)(x^2+1)=(a/(x+1))+(b/(x+i))+(c/(x-i))
と部分分数分解できないのでしょうか?
できます。
b, c が互いに共役な虚数になります。
お試しを!
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