極限値の問題について

極限値の問題について
lim[x→∞]log x/x　を、ロピタルの定理を使わない求め方が分かりません。何方か教えていただけないでしょうか？

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/05/04 00:23

こんばんわ。

単純に計算できないようなときは、「関数として評価」してみるとよいです。
どういうことかというと、増減表を用いて、グラフの概形を描くということです。

いまの問題では、log(x)/x＞ 0であることも使います。

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/05/04 00:40

#1です。

1点補足です。

＞いまの問題では、log(x)/x＞ 0であることも使いますね。
x＞ 1のときに成り立つ、よって x→∞とするときにも成り立つという意味です。

No.3 回答者： R_Earl 回答日時： 2010/05/04 01:50

ANo.1の方へ

y = (logx)/xのグラフの概形からは
x → ∞の時に(logx)/x → 0を示す事は出来ない気がします。
y = (logx)/xのグラフは、xの値を増やすとあるところから単調減少の関数となります。
「1 ≦ xの時に常に0 ≦ (logx)/x」という条件も照らし合わせてグラフを描いてみると、
このグラフから

x → ∞の時の(logx)/xの値は、
0以上「(logx)/xの最大値」以下の値に収束する

ということが判断できます。ただし示せるのはそこまでです。
その収束値が0であるという保証がありません。

ただ、1 ≦ xの時に常に
0 ≦ logx/x ≦ 「logx/xの最大値」
となる事を示すと、
(logx)/xに似たものの極限値を求めることができます。
例えば、x → ∞の時に(logx)/(x^2) → 0となることを示せます。

0 ≦ logx/x ≦ 「logx/xの最大値」という不等式に1/xをかけることにより、
0 ≦ (logx)/(x^2) ≦ 「logx/xの最大値」/x
という不等式を作れます。
この不等式でx → ∞を考えると、はさみうちの原理により
x → ∞の時、(logx)/(x^2) → 0となることが示せます。

この方法と似たような方法で、(logx)/xがx → ∞の時に0に収束する事を示せます。
y = (logx)/xの分母の次数を下げた、y = (logx)/√xという関数を用意します。
そしてy = (logx)/√xのグラフを1 ≦ xの範囲で描いて下さい。
そして1 ≦ xの時、0 ≦ (logx)/√x ≦ ((logx)/√xの最大値)を示してください。

1 ≦ xの時、0 ≦ (logx)/√x ≦ ((logx)/√xの最大値)が示せれば、
はさみうちの原理を利用して問題を解く事ができます。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2010/05/04 11:27

極限が解るから、グラフの概形が描けるんであって、

グラフの概形から極限の値を導いたのでは、
どうやって値を求めたのか、説明を省略しているに過ぎない。

No.3 のように評価するのもよいが、ハサミウチを行うなら、
x = exp y と置換して、lim[y→∞] y/exp y で考えると簡単になる。

exp ∞ がムチャでかい というのは、直感的には明らかだが、
それを式で評価するには、
exp y = 1 + y + (1/2)y^2 + (1/6)y^3 + … を二次項またはそれ以上で打ち切って、
y > 0 では正項級数であることから、たとえば、exp y > 1 + y + (1/2)y^2。
ここから、0 < y/exp y < y/{1 + y + (1/2)y^2} が出る。

No.5 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/05/05 01:12

#1,2です。

R_Earlさん、指摘ありがとうございます。
おっしゃるとおり、あの内容だけではだめですね。

「はさみうち」にするのが正解ですね。
失礼しました。

No.6 ベストアンサー 回答者： muturajcp 回答日時： 2010/05/05 05:44

任意のε>0 に対して,e^(2/ε)<K となる　K があり

K<x ならば　y=logx とすると y=logx>logK>2/ε
x=e^y≧1+y+y^2/2
x/y≧1/y+1+y/2>y/2>1/ε
|(logx)/x|=y/x<ε

lim_{x→∞}(logx)/x=0

この回答へのお礼

理解できました。ご丁寧に解説ありがとうございました。

お礼日時：2010/05/06 21:43