電流Iが作る磁束密度

電流Iが作る磁束密度

Z軸上の線分ABを流れる電流Iが、点P(x,y,z)に作る磁束密度についてです。

Z軸上のz'にある点Qの近傍の微小要素Δz'の作る磁束密度を考える。
Δs=(0,0,Δz')
r=(x,y,z-z')
であるから、ビーオサバールの法則により
ΔB=(μ0IΔz'/4πr^3)(-y,x,0)
となる。この式をz'について、点A(zA)からB(zB)まで積分すればよい。この積分は各成分について共通であって、
z-z'=ρcotθ, ρ=√(x^2+y^2)
とおけば
∫dz'/((x^2+y^2+(z-z')^2)^(3/2))=∫dz'/((ρ^2+(z-z')^2)^(3/2))
=(1/ρ^2)∫sinθdθ
=(1/ρ^2)(cosθA-cosθB)
と求められる。ここで、ρは点Pからz軸へ下した垂線の長さ、θはQPとz軸とのなす角度である。cosθA=(z-zA)/APなどを用いて書き直せば、
B=(μ0I/4π(x^2+y^2))(((z-zA)/AP)-((z-zB/BP)(-y,x,0)
が求める結果である。
ここまでは理解できました。

この結果をz軸を軸とする円筒座標を用いて表わせば、
Bρ=0,Bφ=(μ0I/4πρ)(cosθA-cosθB),Bz=0
となり、磁束線はz軸を軸とする同心円である。
ここが理解できません。
BρやBφは何を表しているんでしょうか？
分りやすい回答お願いします。

※添付画像が削除されました。

No.2 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2010/05/23 12:01

デカルト座標系(x,y,z)で書かれたベクトル成分

B=(μ0I/4π(x^2+y^2))(((z-zA)/AP)-((z-zB/BP)(-y,x,0)
を円筒座標系(t,θ,z)へ変換すればよろしい。
ベクトル解析のもっとも始めの部分に座標系の変換の話が出ているので
それを見ながらやってみてください。
いずれも直交座標系でしかもz成分は0なので実質は(x,y)平面と(r,θ)平面での
変換で済むでしょう。

なお、こんな変換をするよりも最初から円筒座標系(t,θ,z)系で考えていけば
ずっとスムースに計算できます。

この回答への補足

どのように計算すればいいのでしょうか？

補足日時：2010/05/23 21:53

No.1 回答者： Lysvky 回答日時： 2010/05/22 22:50

円柱座標はわかりますよね。

BρやBφはベクトルを円柱座標で表示したときの成分になります。

もう少し詳しく言うとベクトルを円柱座標であらわすとき、
単位ベクトルは動径方向、角度方向、z軸方向のものを用いるので
当然成分は変わりますよね

Bρは動径方向の成分、Bφは角度方向の成分です。

この回答への補足

なんで、Bρ=0,Bφ=(μ0I/4πρ)(cosθA-cosθB),Bz=0になるんでしょうか？

補足日時：2010/05/22 23:35