I_(n)=∫x^n/√(x^2+a^2)dxの漸化式の求め方

I_(n)=∫x^n/√(x^2+a^2)dxの漸化式の求め方

この積分の漸化式は

I_(n)=x^(n-1)√(x^2+a^2)/n - a^2(n-1)I_(n-2)/n

となります

この式の求め方がわかりません

誰か教えてください

お願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： Ae610 回答日時： 2010/07/11 20:13

I[n]=∫{x^n/√(x^2+a^2)}dx

=x^(n-1)・√(x^2+a^2)－(n-1)∫{x^(n-2)・(x^2+a^2)/√(x^2+a^2)}dx
=x^(n-1)・√(x^2+a^2)－(n-1)∫{x^n/√(x^2+a^2)}dx - a^2・(n-1)∫{x^(n-2)/√(x^2+a^2)}dx
=x^(n-1)・√(x^2+a^2)－(n-1)・I[n] - a^2・(n-1)・I[n-2]

∴n・I[n] = x^(n-1)・√(x^2+a^2) - a^2・(n-1)・I[n-2]
I[n] = (x^(n-1)・√(x^2+a^2) - a^2・(n-1)・I[n-2])/n