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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
First_Noelさんがニュートン流の運動方程式を書かれていますので、以下は「解析力学で」という主旨を受けて、ラグランジュの運動方程式で記述してみましょう。
ラグランジアンをL、運動エネルギーをT、ポテンシャルエネルギーをVとすると
L=T-V (1)
でした。
<運動エネルギー>
水平面の穴を原点とした平面極座標を取ります。z軸は上が正の方向とします。従って
x=rcosθ、y=rsinθ (2)
となり、水平面の質量Mの質点の運動エネルギーT1は極座標で書くと
T1=(1/2)M(r'^2+r^2θ'^2) (3)
となります((2)を時間微分することから得られますね)。
また、鉛直にぶら下がった質量mの質点の運動エネルギーT2は、質点Mの速度と同じですから
T2=(1/2)mr'^2 (4)
となります。
従って、この力学系の運動エネルギーT(=T1+T2)は
T=(1/2)M(r'^2+r^2θ'^2)+(1/2)mr'^2 (5)
となります。
<ポテンシャルエネルギー>
質量mの質点が鉛直方向に落下して行きますので、そのポテンシャルエネルギー(V)は、原点からの距離がl-rと
なりますので
V=-mg(l-r) (6)
となります。
<ラグランジアン>
ここまでくるとラグランジアンは(1)の定義より
L=(5)-(6)
=(1/2)M(r'^2+r^2θ'^2)+(1/2)mr'^2+mg(l-r) (7)
と求まります。
<ラグランジュの方程式>
あとはラグランジュの運動方程式を書けばいい訳ですね。結果を書くと(途中の計算はフォローして下さい)
(M+m)r''-Mrθ'^2+mg=0 (8)
d/dt(Mr^2θ')=0 (9)
(9)式は穴の周りの角運動量保存則を表わしています。
あとはこの方程式を解いて、r=0となる時刻を求めればそれが質量Mの質点が穴に到達する時刻となります。
No.1
- 回答日時:
それぞれの錘に注目して運動方程式を立てると良いです.
(x・・)はxの時間に関する2階微分を表すとします.
下端の錘:
m(y・・)=mg-T T:糸の張力,下向きを正とする.
上端の錘:
M(x・・)=T
ここで注意すべきは,糸は伸びないと仮定して,
mのy変位量とMのx変位量とが常に同じである点です.
従って,その微分も常に同じなので,
(y・・)=(x・・)
とすれば,上2式でTを消去して,
m(x・・)=mg-M(x・・)
まとめて,
(m+M)(x・・)=mg
簡単な2階常微分方程式なので,初期条件等を考慮して求まります.
運動の終了は,変位量がl(エル)になった時刻です.
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