積分に詳しい方よろしくお願いします。
ベクトル関数をf=x^3 x^+x^2y y^ とする。x^、 y^ はそれぞれx、y方向の単位ベクトルである。次の積分を求めよ。
(分りにくくて申し訳ないのですが x^3 、 x^2y の ^ はそれぞれ三乗、二乗を表しています。)
(a) ∫c f・n ds
ただしcは原点を中心とする半径aの円である。nは円周上での法線ベクトルであり(すなわちn=cosθx^+sinθy^)、dsは円周上の微小線分すなわちds=adθである。
(b) ∬s ∇ ・ f dxdy
ただしsは原点を中心とする半径aの円の内部である。
(a)線積分、(b) 面積分 が等しいことがガウスの定理の2次元版である。
という問題です。
お時間ある方よろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
f(x,y)=(x^3,2y).
(a)
f・n=a^3cos^4(θ)+2asin^2(θ).
ds=adθ
を代入。
あとは普通の積分。
int[C]f・nds
=int[0,2π]a^3cos^4(θ)+2asin^2(θ)adθ
=int[0,2π]a^4cos^4(θ)+2a^2ins^2(θ)dθ
=3/4×a^4π+2a^2π.
(b)
∇・f=3x^2+2.
を代入後、x=rcos(θ),y=rsin(θ)で変数変換。
あとは普通の積分。
iint[S]∇・fdxdy
=iint[S]3x^2+2dxdy
=int[θ:0,2π]int[r:0,a]3r^3cos^2(θ)+2rdrdθ
=int[θ:0,2π]3/4×a^3cos^2(θ)+a^2dθ
=3/4×a^3π+2a^2π.
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・10秒目をつむったら…
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・【大喜利】【投稿~9/18】 おとぎ話『桃太郎』の知られざるエピソード
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
e^2xのマクローリン展開を求め...
-
1+cosθをみると何か変形ができ...
-
数学の質問です。 0≦θ<2πのとき...
-
cos(2/5)πの値は?
-
cos2θ−3cosθ+ 2≧0の不等式を解...
-
複素数zはz^7=1かつz≠1を満たす...
-
積分
-
長方形窓の立体角投射率
-
∮sinθcos^2θを置換積分なしで =...
-
x=rcosθ の微分
-
cos2x=cosx ってなにを聞かれ...
-
(1)θ=36°のとき、cos2θ=−cos3θ...
-
三角関数
-
自然対数eは何に使えるのですか...
-
【数字】 d(cosθ)というのと、d...
-
数学の質問です。 円に内接する...
-
cosΘの問題
-
(cos(x))^1/2の不定積分
-
a>0とする。曲線y=sin2x(0≦x≦π...
-
三角比の問題 (2)
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
1+cosθをみると何か変形ができ...
-
数学の質問です。 0≦θ<2πのとき...
-
eの2πi乗は1になってしまうんで...
-
次の記述について
-
e^2xのマクローリン展開を求め...
-
cos2x=cosx ってなにを聞かれ...
-
以下の問題が示している領域が...
-
積分
-
不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x...
-
高校数学 三角関数
-
cos60°が、なぜ2分の1になるの...
-
三角関数で、
-
∮sinθcos^2θを置換積分なしで =...
-
1/ a + bcosx (a,b>0)の 不定積...
-
cos2θ−3cosθ+ 2≧0の不等式を解...
-
0 ≦θ ≦πのとき cos(2θ+π/3)=cos...
-
Σは二乗されないのですか?
-
複素関数で分からない問題があ...
-
cos(θ-π/2)=cos(π/2-θ)になるの...
-
三角関数
おすすめ情報