中空導体の問題です。

中空導体の問題です。

図のような中空導体球に関して分からないことがあり困っています＞＜

内導体球Aの半径はa,外導体球Bの内半径はb,外半径はcで、中心（左側の赤い点）に
電荷 Q を与え、中心から距離 R だけ離れた位置（右側の赤い点）に電荷 q の
点電荷を置いたとき、点電荷に働く力と、導体Aと導体Bの電位はどうなるのでしょうか？

僕は影像電荷かなと思い、
中心からの距離 b^2/R に影像電荷 Q'=-(b/R)q
中心に影像電荷 Q"=(b/R)q
の影像電荷を置けば解けるのかなと思っていますが、それでも電位がどうなるかわかりません＞＜

どなたか分かるかたがいれば回答よろしくお願いします！！

No.8 回答者： cocacola2010 回答日時： 2010/08/07 04:53

電位係数で調べてやっとわかりました。

なんて便利な・・・
知らなかったのが恥ずかしいです。

非常に勉強になりました。
度々のレスポンスどうも有難うございました。

No.7 回答者： mazimekko3 回答日時： 2010/08/07 00:39

> bまず鏡像電荷を考えた場合の点電荷が受ける力（#2で述べた点電荷2,3,4が点電荷1に及ぼす力）

> が#1さんの求めた答えと一致しません。
> #1さんの答えF = Qq/(4πεR^2)は、導体Ｂ中の電荷の偏りを考慮していない解に
> 見えてしまうのですがいかがでしょう？
> 電荷の偏りによってq依存の双極子的な電界が生じそうなものですが・・・

力は一致しないだろうね。
静電誘導の項がいるはずで、私の#1間違えてるし。
これは素直に鏡像電荷おいた方が楽な気がする。



>> 電位は座標に対して対称だから、電荷を与える点を入れ替えてもいい。
> 電位が球対称→「電荷を与える点」と「電位を計測する点」を入れ替えて考えてもいい。
> と解釈していいですか？

これは違う。
電位は本質的に距離の関数になるから、電位が球対象であろうがなかろうが、静電界ならば「電荷を与える点」と「電位を計測する点」を入れ替えて考えてもいい。
このことを座標に対して対称と表現した。

電位係数の概念と同じで、任意のA点とB点に対して、A点のみが電荷Qを持つときのB点の電位Vは、B点のみが電荷Qを持つときのA点の電位と等しい。

No.6 回答者： cocacola2010 回答日時： 2010/08/06 21:43

#2#4です

Va,Vb共に確かに一致しました。
エレガントな解法だとは思うんですが・・・いまいち理解できませんでした。


まず鏡像電荷を考えた場合の点電荷が受ける力（#2で述べた点電荷2,3,4が点電荷1に及ぼす力）
が#1さんの求めた答えと一致しません。
#1さんの答えF = Qq/(4πεR^2)は、導体Ｂ中の電荷の偏りを考慮していない解に
見えてしまうのですがいかがでしょう？
電荷の偏りによってq依存の双極子的な電界が生じそうなものですが・・・

＜＜電位は座標に対して対称だから、電荷を与える点を入れ替えてもいい。
電位が球対称→「電荷を与える点」と「電位を計測する点」を入れ替えて考えてもいい。
と解釈していいですか？

電位が球対称であれば電荷を入れ替えて良い必然性をいろいろ考えてみたんですが、
どうにも思いつきませんでした。（ヒントください）

電位が球対称なのは半径c以内の領域に限られると思うのですが、その領域の外の点電荷
を入れ替えて考えてもいいんでしょうか？
実際に計測したい位置の電位（導体Ａ，Ｂの電位）さえ球対称なら構わないということでしょうか。

No.5 回答者： mazimekko3 回答日時： 2010/08/06 08:23

#1,#3です。

導体の電荷に偏りができるのは当たり前だけど、
電位は座標に対して対象だから、電荷を与える点を入れ替えてもいい。

Rの位置にq与えたときの導体Bの電位
導体Bにq与えたときのRの位置の電位

が等しいならば、球対称の電界を発生させる後者の方が計算しやすいって話。

ちなみに結果は#2さんが示してるのと一緒になるよ。

No.4 回答者： cocacola2010 回答日時： 2010/08/06 07:56

No3さん

いやいや、鏡像電荷は考慮すべきだと思いますよ？
導体内の電荷分布が点電荷qを置く前と後で変わらないなら電位を足し合わせればＯＫ
ですけど、実際は点電荷をおけば導体内の電荷が移動してしまって、導体が及ぼす電位が
変化してしまいますから。
境界条件として、導体球表面全域についてポテンシャル一定、を意識しながら等価な擬似電荷をおいて解いていかないと正しい値が出ないと思いますよ。

No.3 回答者： mazimekko3 回答日時： 2010/08/03 19:27

#1訂正です。

Va=(Q/a-Q/b+Q/c+q/R)/(4πε)
ですね。積分区間が違う。

以下蛇足。

思うんだけど、これ影像電荷いらないんじゃないかな。

RにqだけおいたときのBの電位って、Bにqを与えたときのRの電位と等しいはずで、
それとQによる電位を加算するだけなんじゃないかな。

No.2 回答者： cocacola2010 回答日時： 2010/08/03 18:20

専門でないのでちょっと自信ないですが

外導体球Ｂより外の領域に関しては
点電荷１　距離Rの位置に電荷q
点電荷２　距離c^2/Rの位置に鏡像電荷-(c/R)q
点電荷３　距離0の位置に鏡像電荷(c/R)q
点電荷４　距離0の位置に鏡像電荷Q

以上の４点をおけば等価になります。
外導体球Ｂの内径bではなく外径cを用いるのがおそらく正しいと思います。
お手持ちの本でご確認を。

外導体球Ｂの電位についてですが、
点電荷１，２は外導体球Ｂのポテンシャルを０にする電荷ですから、それ以外の点電荷３，４の合計をQeffとしてQeff/(4πεc)とすれば良いと思います。

内導体球Aの電位についてですが、
外導体球B内部は静電遮蔽を受けますので、外部に置いた点電荷qの影響を受けることはないので、点電荷Qによる球対称な電界を考えればよく、ab間の電位差を積分で求めて
外導体球Ｂの電位に加算して
Qeff/(4πεc)-Q/(4πεb)+Q/(4πεa)

となるのではないかと。

No.1 回答者： mazimekko3 回答日時： 2010/08/01 19:03

F = Qq/(4πεR^2)

Va = (Q/a+q/R)/(4πε)
Vb = (Q/c+q/R)/(4πε)
だと思うけど自信はない。