2直線の交点の軌跡
mが実数全体を動くとき、次の2直線の交点Pはどんな図形を描くか。
mx-y=0・・・(1)、x+my-m-2=0・・・(2)
指針、(1)、(2)を連立して解くと x=m+2/m^2+1,y=m(m+2)/m^2+1
この2式からmを消去してx、yの関係式を求めようとするのは計算が大変。
そこで、交点Pの座標を(x,y)とすると(x,y)は(1)、(2)を同時に満たすから、(1)、(2)はmをつなぎ文字とみた軌跡の条件式である
よって、(1)、(2)から直接mを消去する。なお、(1)、(2)が表さない、直線があるから、求めた図形から、除外する点がでてくることに
注意する。
教えてほしいところ
解答では、(1)の式を変形して(2)に代入していたんですが、(1)を満たすような(x,y)と(2)を満たすような(x,y)は異なりますよね(必要十分でない)??
ですから、代入して(1)のx,yと(2)のx,yをごちゃごちゃにするのは駄目なのでは??
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>(1)を満たすような(x,y)と(2)を満たすような(x,y)は異なりますよね(必要十分でない)??
交点ではこれが一致するのです。
>この2式からmを消去してx、yの関係式を求めようとするのは計算が大変。
全然そんなことはありません。
y/x=m
x=m+2/m^2+1 に代入してせりすると
(x-1)^2+(y-1/2)^2=(√5/2)^2
>求めた図形から、除外する点がでてくることに注意する。
その通り。
ともあれパラメータ(この場合、m)は消去せよ。これが原則ですが、いろいろ確かめてみてください。
No.4
- 回答日時:
> それを勝手に除外して、
勝手に交点のことを考えることにした
のだから、それは仕方ありません。
(1)を満たし (2)は満たさないような (x,y) は
直線(1)上で交点以外の点、
(1)(2)両方を満たす (x,y) は二直線の交点だというだけです。
(1)上の点のうち交点以外の点を除外して
勝手に交点を P とした理由を
思い出してみましよょう。
No.3
- 回答日時:
では、交点Pの座標を(p,q)とでも置いてください。
そして、p、qの関係式を導きます。その関係式のp、qをx、yに置き換えた方程式上の点は(1)、(2)を満たしますから、これが求める軌跡の方程式です(除外する点に関する注意点は解説にあるとおり)。
解答では二度手間なことをせずに最初から(x,y)と置いているだけです。
> 代入して(1)のx,yと(2)のx,yをごちゃごちゃにするのは駄目なのでは??
代入することで、“両方を満たす”x、yの関係式になるのです。要するに連立方程式です。連立方程式ですが文字が3つで式が2つですから解が有限個に定まらず、ある関係を持つx、yならよいという関係式が出てくるのです。
No.1
- 回答日時:
代入したのは、x,y をゴチャゴチャにしたのではなく、
P は (1)(2) の交点なのだから、P の座標を (x,y) と置くと、
(1)(2) が両方成り立つ ということです。
このとき、十分性を損なわないようにするには、
m を消去する際に、対応する m が在るための (x,y) の条件
を考えておく必要があるだけです。
この回答への補足
P は (1)(2) の交点なのだから、P の座標を (x,y) と置くと、
(1)(2) が両方成り立つ ということです。確かに、(x、y)とおけば両方成り立ちます。
ですが、(1)、(2)の(x、y)は交点以外の(x、y)も表しますよね?
それを勝ってに除外して(交点以外の(1)、(2)が表していた(x、y)除外するということ)mを消去して考えることができる理由を知りたいです。
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