水平方向の移動距離は同じか？

水平方向の移動距離は同じか？
同じ大きさ、質量の球A,BをそれぞれレールA,B上で同時に同じ初速でころがします。レールAは水平で球Aは等速直線運動をします。レールBは途中で斜面を下るようになっています。球Bはそれに沿って下ります。このとき、水平方向の移動距離は同じになるのでしょうか？
ある人に聞くと、重力は垂直方向にはたらくので水平方向の速さは同じだから水平方向の移動距離は同じになると答えてくれました。
またある人に聞くと、斜面上では、球には重力と垂直抗力の合力が斜面に沿って下向きにはたらいているから、斜面方向に加速するので、水平成分の速さも加速されるのでレールBの方が水平方向の移動距離は長くなる、と答えてくれました。
僕は、後者の答えの方が正しいと思うのですが。。。
どちらが正しいのかご回答よろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： nanntoyara 回答日時： 2010/09/08 03:36

＞水平方向の移動距離は同じになるのでしょうか？

水平方向をｘ軸にとって、球の運動方程式を立ててみます。
水平方向には重力は働かず、題意よりその他の力も球に働いていませんので
　ｍ（ｄｖ/ｄｔ）＝０
となります。
ここで、ｍ、ｖ、ｔはそれぞれ球の質量、速度、時間です。
この方程式をｖについて解くと
　ｖ（ｔ）＝初速度＝ｄｘ/ｄｔ
です。
さらにｘについて解くと
　ｘ（ｔ）＝ｖｔ＋ｘ（０）
です。
これはレールが傾斜になっている場合でも同様です。
したがって、
＞重力は垂直方向にはたらくので水平方向の速さは同じだから水平方向の移動距離は同じになると答えてくれました。
が正しいといえます。

ただし、傾斜レールから水平レールに戻る場合は、答えが逆転します。
つまり、垂直に球に働く重力のうち、傾斜成分による加速度が加味され、斜面レールが終了した後はそのスピードで水平方向に等加速度運動をすることになります。
このような経過を得て再び水平レールを進行する球の水平方向の速度は、常に水平レールを進んできた球よりも、大きいことになります。
したがって、このような場合は
＞斜面上では、球には重力と垂直抗力の合力が斜面に沿って下向きにはたらいているから、斜面方向に加速するので、水平成分の速さも加速されるのでレールBの方が水平方向の移動距離は長くなる
が正しいということになります。
以上です。参考になれば幸いです＾＾

No.7 回答者： -ok 回答日時： 2010/09/12 14:50

＃６への「お礼」に対してコメントします。

仮に、ある点（Ｐ）で水平面が途切れて、断崖絶壁になっているとしましょう。すると、水平面を滑って来た球はＰ点から放物線を描いて落下するでしょう。その放物線の傾きはＰ点でゼロで、じょじょに急になってゆきます。

Ｐ点から先に傾き一定の斜面がつながっている場合も、Ｐ点を通過した球は斜面がない場合と同じ放物運動をしようとしますから、Ｐ点通過後しばらくは斜面上空を飛び、やがて斜面に落下するでしょう。

（１）球が斜面から離れないようにするためのひとつの方法は、斜面の傾きを一定にするのではなく、Ｐ点で水平面に接し、そこからじょじょに傾きが急になってゆくような曲面（Ｓ）を考えることです。Ｓが上記の放物線に沿った曲面の上側にあれば（Ｓの傾きが、Ｐ点から同じ水平距離において、放物線の傾きよりゆるやかであれば）、球がＳから離れることはないでしょう（少なくともＰ点通過後しばらくの間は）。Ｓの傾きは、Ｐ点からじゅうぶん離れれば、やがて一定にすることができるでしょう。

　上記の放物線の傾きは球の初速に依存します。初速が大きいほど、傾きはゆるやかになります。よって、Ｓの傾きもそれに伴ってゆるやかにする必要があります。逆に言うと、Ｓをひとつ決めると、球がＳから離れないような初速には上限ができるということです。

（２）これに対して＃４では、Ｐ点（付近）で球に（短時間だけ撃）力を加えて球の方向を強制的に変え、傾き一定の斜面に沿って運動させる場合を考えています。例えば、Ｐ点に適当な（球が衝突してもびくともしないような）反射板を置いて、それに球を弾性衝突させるようなイメージです。この場合、球は仕事をされませんから、その運動エネルギーは変わりません。よって、球は同じ速さのまま方向だけ変えて、斜面をすべり落ちはじめます。Ｐ点で球の水平方向の速さは cosθ 倍になりますが、これは球が反射板から進行方向と逆の方向の力成分を加えられるためです。また、同時に球は鉛直方向の速さを得ますが、これは同様に鉛直下向きの力成分を加えられるためです。

質問文には「球Ｂはそれ（斜面のこと）に沿って下ります」とありますから、球が斜面から離れることは許されないのでしょう。しかし、斜面についてはそれ以上の条件は何も指定されていませんから、上の（１）も（２）も考えられるのではないかと思います。

いずれにしても、斜面を滑り落ちる球は斜面から抗力を受けます。その抗力の水平成分によって球は水平方向の加速度を得ますから、球Ｂの水平方向の速度成分は時間とともに大きくなります。この点では（１）も（２）も定性的には同じですし、質問者さんの考えも正しいと思います。ただ、滑りはじめの条件の取り方の違いにより、（１）の場合にはＢは常に先行するが、（２）の場合にはＢはある時間以降に先行するという違いが出る、ということです。

この回答へのお礼

貴重なお時間を頂き恐縮至極です。結局のところ水平面上から斜面に下るときは、強制力がはたらかない限り全く離れないで運動することはあり得ないと言うことですね。本当にありがとうございました。ーokさんの優しさに感謝感激です。

お礼日時：2010/09/12 19:27

No.6 回答者： -ok 回答日時： 2010/09/08 21:15

＃４です。

少し追加します。

Ｂの運動では、水平面から斜面への移行の仕方が問題になるようです。

＃４では、斜面にそった初速を v0 としていますが、それは仕事をしないような拘束力によって水平面から斜面へ等速で移行させることを考えたからです。一定の傾きをもつ斜面と水平面が交わる状況を考えたので、そのような拘束力を短時間作用させることが必要になりました。水平方向の初速が cosθ 倍になるのは、その拘束力による力積のためです。
　
これに対して、＃５さんは水平面から斜面へ拘束力なしに移行させる場合を考えておられるようです。球が斜面から離れないような曲面を含む斜面を考えるか、あるいは球が斜面から離れることを許すことに相当するのでしょう。

この回答へのお礼

何度もご丁寧なご回答ありがとうございます。概ね理解できたのですが、「水平面から斜面への移行の仕方」のご説明で、拘束力による力積の影響の説明が私には難しすぎてがわかりません。つなぎ目の運動をどう解釈すればよいのか今一度平易に説明よろしくお願いします。
水平面上を初速v0で運動していた球が斜面を下り始めるとき、私自身は球はレール上を離れることなく運動する場合を考えていたのですが、新たにわからなくなったのは、その際、斜面方向の初速をv0cosθするのかそのままv0で考えてよいものかという問題です。おそらくそのつなぎ目のところで力積が関係することをご説明いただいている思うのですが。

お礼日時：2010/09/12 11:26

No.5 回答者： nanntoyara 回答日時： 2010/09/08 14:30

Ｎｏ、２の回答者です。

前言撤回です。
投稿後、直観が斜面レールの球の方が水平レールよりも速度が速いといってるのいで、
実際に図面を描いてみて計算しました。
すると、斜面における水平方向の運動方程式は
ｍ（ｄｘ/ｄｔ）＝ｍｇｓｉｎθ×ｃｏｓθ
です。
θは傾斜角度です。
傾斜が４５度のとき、重力加速度ｇの１/２が傾斜の抗力の水平成分が推進力として寄与するということになります。
したがって
＞斜面方向に加速するので、水平成分の速さも加速されるのでレールBの方が水平方向の移動距離は長くなる
が正しいです。
垂直方向の力は水平方向に寄与しないことに引きずられてしまいました。
すいません＞＜
以上です。

No.4 回答者： -ok 回答日時： 2010/09/08 09:26

斜面の起点を座標の原点として、水平方向に x 軸をとります。

初速を v0、斜面と水平面のなす角をθ、重力加速度を g、時間を t とし、摩擦は働かないとします。
Ａは等速度で運動しますから
xA = v0 t。
Ｂは斜面に沿って加速度 g sinθ の等加速度運動をします。斜面に沿っての距離を y とすると
y = v0 t + (g sinθ / 2) t^2。
水平方向の移動距離は
xB = y cosθ。
よって
xB - xA
= v0 t (cosθ - 1) + (g sinθ cosθ / 2) t^2
= (g sinθ cosθ / 2) t {t - 2 v0 (1 - cos θ) / (g sinθ cosθ)}
= {g sin(2θ) / 4} t {t - 8 (v0 / g) sin^2(θ/2) / sin(2θ)}。
これより
T = 8 (v0 / g) sin^2(θ/2) / sin(2θ)
とすると、
0 <= t <= T では xB <= xA、
t > T では xB > xA。

t が小さい間は、B の方が初速の水平成分（v0 cosθ）が小さいことが効いて、A の方が「先行」します。やがて加速の効果が大きくなって、B が追い越します。ただし、θ → π/2 の極限では、T → ∞ です。ほぼ真下に落下する場合には、水平方向の初速も加速度（g sinθ cosθ）も小さいために、追い越しに時間がかかるわけです。ここで水平方向の加速度とは、斜面からの抗力によるものです。

No.3 回答者： htms42 回答日時： 2010/09/08 08:20

質問の意味が分かりません。

「水平の移動距離」とはどういう意味でしょう。

＞レールＡは水平で球Ａは等速直線運動をします。

したがってレールと球の間には摩擦はないものとするという前提です。
当然Ｂの方も同じ条件でなければいけませんので摩擦はありません。

どちらの球もレールのある限り転がって行きます。
速さの違いを問題にするのであれば時間の条件が必要です。

これだけでは何を訊いているのかが分かりません。

No.1 回答者： Hiyuki 回答日時： 2010/09/07 21:49

というよりは

A：初速の運動エネルギーのみ
B:初速の運動エネルギー+位置エネルギー
となるので、Bのほうが長い距離を進むのではないでしょうか？