複数の周波数成分をもつ高周波の表皮の深さ

表皮効果で表皮の深さを求めるのに、単一周波数であれば公式を使えばよいですが、周波数成分が2つからなる高周波であった場合にはこれらの２つの成分のそれぞれでの表皮の深さを求めてからそれらの結果を足し算すればよいのでしょうか。
詳しい方ご教示ください。

質問者からの補足コメント

• rinkun様
  早速のご回答ありがとうございます。
  以前同様の質問をした際、加算するという回答がきたことがあるのですが、今一度確認するために再質問をさせていただきました。
  2つの高周波の強度の違いに関係なく、深くなる方でよいのでしょうか。（確かに表皮の深さを求める公式に電流の大きさは関係ないことになっていますが）

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/10/27 10:06

• rinkun様
  早速のご回答ならびに重ね重ねお答えいただきありがとうございます。
  
  ＞シールド設計などで安全性を考えるなら最も低い周波数成分を基準に議論すれば良いです
  この点につきましてはよく理解できました。つまり最も深くなる場合だけ考えると理解しました。
  
  ＞電流密度の周波数成分分布が未知なら・・・
  空間的な（＝断面での）電流密度は一様として考えています。その後誘導電流にていわゆる表皮効果が発生することだけを考えています。
  
  ＞各周波数成分での表皮深さから電流密度の減衰を周波数成分分布に従って積算したときに・・・
  この「積算」の意味ですが、各周波数成分で生じる表皮の深さをδ1=1/√(πf1μσ)、δ2=1/√(πf2μσ)としたとき、δ=δ1+δ2になる（最初に当方が示した方法になりますが）ということでしょうか。
  
  よろしければご回答いただければ幸いです。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/10/28 20:27

• rinkun様
  早速のご回答ならびに繰り返しご教示いただきありがとうございます。
  当方も気になっていたのは電流の大きさの違いで表皮の深さは変わらないのかという点について、単一周波数であれば公式の通り電流の大きさによらないが正しいのでしょうが、やはり複数の周波数が混じりそれぞれの交流の大きさが異なっている場合には公式をそのままではいけないということですね。
  最近関連質問を投稿してきたのですが、本当に求めたいのは「矩形波の表皮の深さ」で、矩形パルスをフーリエ級数に展開したところで、無限に続く高周波成分をどう処理するのか（足し上げるのか、最低次だけをとるのか）で立ち止まっていました。それを設定を簡略化して2成分高周波の場合の方法を今回うかがった次第です。
  ＞δ, δ1, δ2の間の関係は1/e=e^(-δ/δ1)+e^(-δ/δ2)となります。・・
  この式は初めて知り、目からうろこです。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/10/30 09:37

• rinkun様
  文字数の関係で続きです。
  それでは、n個の高周波成分（周波数fn）からなる交流の場合、表皮の深さδは各交流の大きさ（最大振幅In）を使ってどのように表されるのか、お答えいただければ大変ありがたいです。（当方が最終的に知りたかった答えです）
  よろしくお願いいたします。

    補足日時：2017/10/30 09:42

• 何度もご回答いただきありがとうございます。
  
  直前の補足でも述べましたが、本当に知りたいのは「矩形波の表皮の深さ」なのですが、今のところフーリエ級数展開までできていて、それがΣ(n,1,inf)(2I0/nπ*sin(nπ/2000)*sin（nωt))（I0は矩形波の振幅）であるとき、今回のお話を参考にさせていただくと、1/eとなる深さδはΣ(n,1,inf)(2I0/nπ*sin(nπ/2000)*exp(-x√(πf0μσn)))=1/e(f0は最低次周波数)をxについて解くということになるのでしょうか？
  （ここで少し気になるのは、Σの中のsin(nπ/2000)　の部分はマイナスになることがありますが、これは絶対値をつけるということで処理するのでしょうか？）
  また、もしこれが正しいとするとどのようにして解くのでしょうか？
  何度も恐縮ですが、もし可能であればご回答いただければ幸いです

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/10/31 10:22

No.5 回答者： rinkun 回答日時： 2017/10/31 10:47

フーリエ天海だと自乗和が一致するんでしたっけ。

各項を二乗して積算した方が表皮深さの定義として妥当かも。
あと、解くのは解析的には無理ですが、定義の左辺はxについて単調減少で、x=0で1、x=∞で0なので、解があることは間違いありません。区間縮小法での探索で数値解は得られるでしょう。

この回答へのお礼

rinkun様
早速のご回答ありがとうございます。
これまでのご教示によってやるべきことがようやく明確になってきました。
最後までお付き合いいただきありがとうございました。

お礼日時：2017/10/31 16:39

No.4 回答者： rinkun 回答日時： 2017/10/31 08:55

まず表皮深さを電流密度の周波数成分比を固定して考えるというのが一般的でないということは理解しておいてください。

普通は先の回答で述べたように安全側に寄せて考えると思います。
> 1/e=e^(-δ/δ1)+e^(-δ/δ2)
これはちょっと間違い。正解は
1/e=(1/2)*e^(-δ/δ1)+(1/2)*e^(-δ/δ2)
でした。これは単に表皮深さが『電流密度が表面の1/eになる深さ』という定義を忠実に計算しただけです。
表皮深さdのときの深さδでの電流密度の減衰が J=e^(-δ/d) で表せることから、表面強度をAとすると深さδでの電流密度はA*e^(-δ/d)になります。
電流密度を周波数成分ごとに分けてA1,A2とすると、A=A1+A2で
A*e^(-δ/d)=A1*e^(-δ/δ1)+A2*e^(-δ/δ2)。
表皮深さがδのときd=δですから、
A*(1/e)=A1*e^(-δ/δ1)+A2*e^(-δ/δ2)。
表面における各成分の比率が同じとすると、A1=A2=A/2なので、最初の式になります。
周波数成分がnコあっても同様です。連続分布なら積分に書き換えます。

# 参考 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%A8%E7%9A%AE …

No.3 回答者： rinkun 回答日時： 2017/10/30 05:56

> ＞電流密度の周波数成分分布が未知なら・・・

> 空間的な（＝断面での）電流密度は一様として考えています。その後誘導電流にていわゆる表皮効果が発生することだけを考えています。
表面での電流密度は全ての周波数で同じということで良いでしょうか。

> ＞各周波数成分での表皮深さから電流密度の減衰を周波数成分分布に従って積算したときに・・・
> この「積算」の意味ですが、各周波数成分で生じる表皮の深さをδ1=1/√(πf1μσ)、δ2=1/√(πf2μσ)としたとき、δ=δ1+δ2になる（最初に当方が示した方法になりますが）ということでしょうか。
違います。積算するのは深さではなく電流密度です。周波数成分が2つだけで表面での電流密度が同じと考えると、δ, δ1, δ2の間の関係は1/e=e^(-δ/δ1)+e^(-δ/δ2)となります。これはδを電流密度の合計が1/eになる深さとして定義したものです。周波数が範囲になるなら和を積分に置き換えれば同様です。ただ、これらは簡単にはδについて解けないと思います。

No.2 回答者： rinkun 回答日時： 2017/10/27 20:38

表皮効果により電流は表面から深くなるにつれ指数的に減衰します。

この減衰の程度を示す値として表皮深さは電流密度が1/eになる深さで定義されます。ただ複数の周波数成分からなる電流に関して表皮深さを具体的に議論することはあまりないと思いますので、そのときの表皮深さは定義次第の面があると思います。
電流密度の周波数成分分布が未知なら、最も表皮深さが深くなるのは周波数が最も低い成分だけの場合なので、シールド設計などで安全性を考えるなら最も低い周波数成分を基準に議論すれば良いです。これがNo.1の回答です。
周波数成分分布が既知で、そのときに電流密度が正確に1/eになる深さを知りたいなら、各周波数成分での表皮深さから電流密度の減衰を周波数成分分布に従って積算したときに1/eになるような深さを解けば良いでしょう。

No.1 回答者： rinkun 回答日時： 2017/10/27 08:32

何で足し算するの? ある周波数の表皮が別の周波数の表皮であっていけないことはないから足し算する理由がないと思うけど。

単にいちばん深いものを取れば良いでしょう。