数学の問題です

数学の問題です

正の数ｘ，ｙが1/x+1/y=1を満たすとき、x+yの最小値を求めよ

という問題です。
私はこの式を変形したx+y=xyを満たす数を求めればいいと考えましたが、これからどうすればいいか
わかりません。代入していくしかないのでしょうか？
また、この方法が正しい解き方なのかもわかりません。
もし間違っているならば、正しい解き方を教えて頂けませんか？
どうかよろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/09/08 15:10

考えられる方法はいくつかある。

(解法-1)

x＋y＝xy＝k　とすると、x＞0　y＞0　から相加平均・相乗平均より　x＋y≧2√xy　→　k≧2√k
k＞0から2乗すると　k≧4　等号は　x＝y＝2の時

(解法-2)

x＋y＝xy＝k　とすると、xとy　はt＾2-kt＋k＝0の2つの正の実数解。
従って、判別式≧0、2解の和＞0、2解の積＞0から、k≧4　等号は　x＝y＝2の時

(解法-3)

x＋y＝xyから　(x-1)*(y-1)＝1 で　x＞0　y＞0　の部分。
x＋y＝k　は傾きが　-1の直線から　x＋y＝kが　双曲線：(x-1)*(y-1)＝1に接する時に最小となる。　

この回答へのお礼

いろいろな方法があるのですね
ありがとうございます！

お礼日時：2010/09/08 15:16

No.1 回答者： askaaska 回答日時： 2010/09/08 14:58

x+y=xy

xy-x-y=0
x(y-1)-y=0
x(y-1)-(y-1)=1
(x-1)(y-1)=1

xとyは正の整数
2つの正の整数の掛け算で1になるためには
2つの正の整数がともに1であることが必要十分条件
よって
x-1=1、y-1=1
x=2、y=2

この回答へのお礼

なるほど！
わかりました
ありがとうございます！

お礼日時：2010/09/08 15:12