必要十分条件の混乱

必要十分条件の混乱

次の等式がｘについての恒等式であるとき、定数a,b,cの値を求めよ
ax(x+1)+bx(x-3)-c(x-3)(x+1)=6x^2

指針
係数比較法でもできるが、等式の形から、数値代入法を利用する。
数値代入法→a.b.cを求めやすい、適当なｘの値を代入する。
３つのｘの代入でa,b,cは求められる（必要条件）が、この３つのｘ値以外でも成り立つかどうかは不明。よって、恒等式であることを確認する（十分条件）。

教えてほしいところ
まず、恒等式であるかどうかはわからないが恒等式であると仮定して、ｘ＝-1,0,3を代入した。
恒等式であるならば→a=8,b=5,c=5
しかし、あくまで恒等式であると仮定したのであって本当に恒等式であるかはわからない
だから、逆の確認が必要であるという考え方で正しいですか？？
また、何故 係数比較法を用いる場合は逆の確認が必要ないんですか？？

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/10/07 20:59

こんばんわ。

＞しかし、あくまで恒等式であると仮定したのであって本当に恒等式であるかはわからない
＞だから、逆の確認が必要であるという考え方で正しいですか？？
そうですね。
適当な値を選んでいるだけなので、これだけでは恒等式であるとは言い切れません。
添付の左図でいえば、
紫の矢印で示した個所の値を代入しているかもしれないからです。
たまたま、そこでの値が一致していても関数全体が一致していない可能性があるということです。
（2次関数なので、3点を与えれば関数全体は一致するようにはなりますが）

＞また、何故 係数比較法を用いる場合は逆の確認が必要ないんですか？？
添付の右図のように、
はじめから一致するものを探す（まさに恒等式）ことから条件を与えているので、特に逆の確認はなくても構わないのです。

この回答への補足

naniwacchiさん　恒等式であるときとは前提ではないですよね？？
また、僕の考えが間違っていると上の回答者様に言われたんですが、間違っているんでしょうか？？

補足日時：2010/10/08 17:07