ベクトルの大小関係
空間の2つのベクトル@anot=@0と@bnot=@0が垂直であるとする。
@p=@OPに対して@q=@OQ=(@p・@a/@a・@a)@a+(@p・@b/@b・@b)@bのとき
(1)(@p-@q)・@a=0,(@p-@q)・@b=0となることを示せ。
(2)|@p|<=|@q|となることを示せ。
@p・@a/@a・@a=s,@p・@b/@b・@b=tとおくと@q=s@a+t@b
(1)から(@p-@q)・@a=0,(@p-@q)・@b=0
よって@p・@q=|@q|^2・・・・(1)
このとき|@p-@q|^2=|p|^2-2p・q+|@q|^2=|@p|^2-|@q|^2
|@p-@q|^2>=であるから |@p|^2<=|@q|^2
|@q|>=0,|@p|>=0であるから|@q|<=|@p|
教えてほしいところ
@p・@q=|@q|^2ということは何のために示したんですか??
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
余りに目がチラチラするので、書き換えてみました。
--------------------------------------------------------------------------------
問題:
空間の2つのベクトル a ≠ ↑0 と b ≠ ↑0 が垂直であるとする。
ベクトル p に対して q = {(p・a)/(a・a)} a + {(p・b)/(b・b)} b とするとき、
(1) (p - q)・a = 0, (p - q)・b = 0 となることを示せ。
(2) |p| ≧ |q| となることを示せ。
(2) の解答:
(p・a)/(a・a) = s, (p・b)/(b・b) = t とおくと、q = s a + t b。 …(3)
(1) から (p - q)・a = 0, (p - q)・b = 0。
よって、p・q = |q|^2。 …(4)
このとき、|p - q|^2 = |p|^2 - 2(p・q) + |q|^2 = |p|^2 - |q|^2。 …(5)
|p - q|^2 ≧ 0 であるから、|p|^2 ≧ |q|^2。 …(6)
|q| ≧ 0, |p| ≧ 0 であるから、|q| ≦ |p|。 …(7)
質問:
p・q = |q|^2 ということは何のために示したんですか?
--------------------------------------------------------------------------------
(2) と (6) で、肝心の不等号が間違っているし。
何のためって、(5) 中辺の p・q へ代入して、中辺 = 右辺 を示すためでしょう。
その後で、(5) から (7) を導いているのですから。
何のために (4) を示したのかは、質問文中の解答で十分明らかですが、
どうやって (4) を示したかのほうが、説明不足であるように思います。
「よって」によって、話を端折り過ぎです。
(p - q)・a = 0 の両辺を s 倍、
(p - q)・b = 0 の両辺を t 倍して、辺々加えると、
(3) より、(p - q)・q = 0。
括弧を展開、移行して、p・q = q・q。すなわち (4)。
言いっ放しで尻切れトンボになっていた (3) の用途は、ここにあります。
No.1
- 回答日時:
>@p・@q=|@q|^2ということは何のために示したんですか??
下の式(A)での計算で使うためですよ。
>よって@p・@q=|@q|^2・・・・(1)
>このとき|@p-@q|^2=|p|^2-2p・q+|@q|^2=|@p|^2-|@q|^2 ・・・・(A)
>|@p-@q|^2>=であるから |@p|^2<=|@q|^2
>|@q|>=0,|@p|>=0であるから|@q|<=|@p|
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