e^2xのマクローリン展開を求めたいです

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質問者：doora88
質問日時：2010/11/08 14:11
回答数：2件

e^2xのマクローリン展開を求めたいです

この展開式をxにつおて微分し、d/dx(e^2x)=2e^2xとなることを証明したいです。

同様にして、d/dxsin(3x)=3cos(3x)となることを証明したいです。

ヒントや解法お待ちしてます。

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者： info22_
回答日時：2010/11/08 15:18

>e^2xのマクローリン展開を求めたいです

e^xのマクローリン展開
e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+x^5/5!+x^6/6! +...

e^(2x)のマクローリン展開は
e^xのマクローリン展開のxに2xを代入すれば得られます。

e^(2x)=1+(2x)/1!+(2x)^2/2!+(2x)^3/3!+(2x)^4/4!+(2x)^5/5!+(2x)^6)/6! +...
=1+2x+2x^2+(4/3)x^3+(2/3)x^4+(4/15)x^5+(4/45)x^6 +...

>d(e^(2x))/dx
={1+(2x)/1!+(2x)^2/2!+(2x)^3/3!+(2x)^4/4!+(2x)^5/5!+(2x)^6)/6! +...}'
={2/1!+2*2(2x)/2!+2*3(2x)^2/3!+2*4(2x)^3/4!+2*5(2x)^4/5!+2*6(2x)^6)/6! +...}
=2{1+(2x)/1!+(2x)^2/2!+(2x)^3/3!+(2x)^4/4!+(2x)^5/5!+(2x)^6)/6! +...}
=2e^2x

>同様にして、dsin(3x)/dx=3cos(3x)となることを証明したいです。

sin(x)、cos(x)のマクローリン展開は
sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-x^11/11! +... …(1)
cos(x)=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+x^8/8!-x^10/10! +... …(2)

sin(3x)のマクローリン展開はxに3xを代入すればよいから
sin(3x)=3x-(3x)^3/3!+(3x)^5/5!-(3x)^7/7!+(3x)^9/9!-(3x)^11/11! +...
xで微分
dsin(3x)/dx
=3-3*3(3x)^2/3!+3*5(3x)^4/5!-3*7(3x)^6/7!+3*9(3x)^8/9!-3*11(3x)^10/11! +...
=3{1-(3x)^2/2!+(3x)^4/4!-(3x)^6/6!+(3x)^8/8!-(3x)^10/10!+(3x)^12/12! +...}
=3cos(3x) (∵(2)より)

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No.1

回答者： Tacosan
回答日時：2010/11/08 14:25

e^x のマクローリン展開に 2x を代入するだけでは?

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従って１）にも２）にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
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まず、h>0のときについて考えましょう。
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exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(＊)はtを用いて
(＊)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ：項数が増え
ロ：個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + ……　+ 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界（どんなnをとってきても(1+1/n)^n＜MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3）です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
（証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います）

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(＊)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する（収束値をeと名付ける）
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

（注：冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう）

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明（あるいは公理の必然性）をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

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（英語）
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そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと（数学、物理学、経済学、工学など）の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

（１）
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申し訳ありませんが，あとは寡聞にして知りません。

（３）
初心者へのお勧めとは，なかなかに難問ですが，ひと通り教えておいて，式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

（４）
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは，あったら私も教えて欲しいです。

（２）
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは，質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

＊すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/