数学のテイラー展開に関する質問です。

関数f(x)=e^2ｘを=0で2次の項までテイラー展開しなさい。また、その結果を
用いてe^0.2の近似値を算出しなさい。

f(0)=e⁰＝f(a)+f´(a)・-a
=e^2a(1-a)
a=0.1のとき
e^0.2=10/9=1.11111


これで合ってますかね？

質問者からの補足コメント

• 

  私のはどこが駄目なのでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/10/07 12:45

• 関数f(x)=e^2ｘをx=0で2次の項までテイラー展開しなさい。また、その結果を
  用いてe^0.2の近似値を算出しなさい。
  
  x=0でテイラー展開しよ
  ということを打つのを忘れていました。
  すみませんでした。
  この場合私の方法で合ってますか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/10/07 21:27

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/08 14:03

私のはどこが駄目なのでしょうか？

f(x) の x = a でのテイラー展開は
2次なら f(x) = f(a) + f’(a) (x - a) + { f’’(a)/2 }(x - a)^2 + o( |x - a|^2 ),
1次なら f(x) = f(a) + f’(a) (x - a) + o( |x - a| ).
a = 0 の場合を、剰余項を打ち切って近似すれば、
2次近似が f(x) ≒ f(0) + f’(0) x + { f’’(0)/2 } x^2,
1次近似は f(x) ≒ f(0) + f’(0) x.
x を a に置き換えても f(a) + f´(a)・-a にはならない。

とりあえず、「テーラー展開」とは何か、一度くらい教科書を読もうね。

f(a) ≒ f(0) + f’(0) a + { f’’(0)/2 } a^2 を f(x) = e^(2x) にあてはめれば、
e^(2a) ≒ 1 + 2 a + (4/2) a^2.
これに a = 0.1 を代入すると、 e^0.2 ≒ 1 + 2(0.1) + 2(0.1)^2 = 1.22

ただし、近似計算は精度を付記しないと意味がない。

二次のテイラーの定理を剰余項つきの完全な形で扱うと、
f(x) = f(a) + f’(a) (x - a) + { f’’(a)/2 }(x - a)^2 + { f’’’(c)/3！ }(x - a)^3
となる c が |c - a| < |x - a| の範囲に存在する... となっている。

f(x) = e^(2x), a = 0 にあてはめれば、 x > 0 のとき
e^(2x) = 1 + 2 x + 2 x^2 + { (4/3)e^(2c) } x^3
となる c が 0 < c < x の範囲に存在する。

e^(2x) が単調増加なことから 1 < e^(2c) < e^(2x) であり、
1 + 2 x + 2 x^2 + (4/3) x^3 < e^(2x) < 1 + 2 x + 2 x^2 + { (4/3)e^(2x) } x^3
が成り立つ。 これに x = 0.1 を代入すると
3664/3000 < e^(2x) < 122/100 + （4/3000）e^(2x).
連立不等式を解いて、
458/375 < x < 915/749.

458/375 = 1.2213333333333334
915/749 = 1.2216288384512684
から 4桁精度で e^0.2 ≒ 1.221 と近似できたことになる。

No.3 回答者： cametan_42 回答日時： 2020/10/07 21:55

> この場合私の方法で合ってますか？

テイラー展開って、この問題の場合、

f(a)*(x-a)^0/0! + f'(a) * (x-a)/1! + f''(a) * (x-a)^2/2!

まで計算しろ、って事ですよね?
f(x) = e^2xならf'(x) = 2*e^2x、f''(x) = 4*e^2xなんで、代入すると

e^2a*(x-a)^0/0! + 2*e^2a * (x-a)/1! + 4*e^2a * (x-a)^2/2!

a = 0だと(x=0周りで展開、ってそういう意味です)

x^0/0! + 2x/1! + 4x^2/2! = 1 + 2x + 2x^2

とこのカタチまで持っていかないとなりません。

No.2 回答者： cametan_42 回答日時： 2020/10/07 12:52

> 私のはどこが駄目なのでしょうか？

テイラー展開でしょ?
テイラー展開自体は公式通りにやってもらうとして。

> 関数f(x)=e^2ｘを=0で2次の項までテイラー展開しなさい。また、その結果を
用いてe^0.2の近似値を算出しなさい。

と書かれている以上、e^(2*x)を利用するんだから、e^0.2を計算するならx=0.1を用いないとダメですよね。

No.1 回答者： cametan_42 回答日時： 2020/10/07 11:48

こういう事でしょ?