三角関数の合成は、指数関数の何を意味するか？

三角関数の加法定理は、指数関数の指数法則を意味しますが、
三角関数の合成は、指数関数の何に相当するのでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： drmuraberg 回答日時： 2010/12/04 20:33

Ｎｏ．３の回答の式を基に考えてみます。

(a+bi)*exp(iθ)=√(a^2+b^2)*exp(i(θ+α))　　　　　　　　　　　(1)

(1)式の左右の辺をそれぞれ展開して、実部同士と虚部同士が等しいと置けば、

a*sinθ+b*cosθ = √(a^2 + b^2)*sin(θ+ α) (2a)
　ここで
　sinα= b/√(a^2 + b^2), cosα= a/√(a^2 + b^2)

-b*sinθ+ a*cosθ = √(a^2 + b^2)*cos(θ- β)　　　　　 (2b)
　ここで
　sinβ= -b/√(a^2 + b^2), cosβ= a/√(a^2 + b^2)

の三角関数の正弦と余弦の合成公式が得られます。

一方
exp(iθ) = cosθ+ i*sinθ　はGauss平面上での単位円の座標(x,y)を表します。

これに習って座標(a,b)をGauss平面上の座標 a + i*b とすれば。
a + i*b = √(a^2 + b^2) { a/ √(a^2 + b^2) + i*b/ √(a^2 + b^2)}
= √(a^2 + b^2)*(cosα　+ i*sinα)　
= √(a^2 + b^2)*exp(iα)　　　　　　　　　　　　　　　　(3)

これより
(a + ib)*exp(iθ)=√(a^2+b^2)*exp(iα)*exp(iθ))
= √(a^2+b^2)*exp(i(θ+α))
ここに
　sinα = b/√(a^2 + b^2), cosα = a/√(a^2 + b^2)

と(1)式に還元されます。　

(1)式は「Gauss平面上の単位円の点Z1(x1,y1)の半径を点Z2(x2,y2)
まで伸ばし、更にそれを＋αだけ回転する」と解釈することができます。　　　　
合成の公式をEulerの公式を使って指数関数の形で表すことはできますが、
(1)式からスタートする上の議論は循環論法の様な気もします。
　　　　　　
形式的な類似は有っても、指数関数の何にも相当しないのでは無いでしょうか。

この回答へのお礼

とても納得のいくご回答に感謝です。

お礼日時：2010/12/06 14:53

No.3 回答者： hugen 回答日時： 2010/12/03 21:31

(a+bi)e^(iθ)=√(a^2+b^2)e^i(θ+α)

この回答へのお礼

とても納得のいくご回答に感謝です。

お礼日時：2010/12/06 14:53

No.2 回答者： 178-tall 回答日時： 2010/12/03 20:27

>…三角関数の合成は、指数関数の何に相当するのでしょうか？

「何に相当するの」か、一口でいう能力がありません。…ので、指数関数による勘定だけでも。

　a*cos(θ) + b*sin(θ)　　…(1)
は a*e^(iθ) + ib*e^(iθ) の実部。
指数関数を使えば、
　a*cos(θ) + b*sin(θ) = Re[(a - i*b)*e^(iθ)]
　= Re[SQRT(a^2 + b^2)*e^(iγ)*e^(iθ)]
　= Re[SQRT(a^2 + b^2)*e^{i(γ+θ)}]
　ただし、γ= arctan(-b/a)　　…(2)

…といった調子です。
　　　

No.1 回答者： noname#137826 回答日時： 2010/12/03 16:44

指数法則ではありませんか？

三角関数の合成と言っているものは、結局のところ加法定理ですよね。(合成後の三角関数を加法定理を使って分解すると、合成前の三角関数の和になる。)