【合成関数】の基本的な考え方について

独学で高校数学を勉強している者です。

いわゆる「合成関数」と呼ばれる式の計算過程が
理解できておりません（「微分」の項目で登場してきました）。

具体的には、下記の式を元にすると、

　ｆ（ｘ） ＝ ｘ － ５
　ｇ（ｘ） ＝ ２ｘ － ３

それぞれ
　ｆ（ｇ（ｘ））＝ｆ（２ｘ － ３）＝（２ｘ － ３）－ ５＝２ｘ－８
　ｇ（ｆ（ｘ））＝ｇ（ｘ － ５）＝２＊（ｘ － ５）－ ３＝２ｘ－１３

となるようですが、理解できません。
そもそも、どのような考え方に基づいて、式が展開されているのでしょうか？

かなり基礎的な箇所でつまづいており、お恥ずかしいですが、
ご指導下さいますよう、宜しくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： Kules 回答日時： 2011/02/10 22:11

合成関数やらをやっているということは、三角関数はやっているんではなかろうかということで書いてみます。

y=sin(2x)
という関数がありますね。
三角関数の分野なら「これを倍角の公式でsinとcosの積にして…」とか、「周期は2πの半分になって…」とかすると思いますが。
結局sin(2x)とsin(x)の違いって何かな、と思った時、sin(2x)はsin(x)のxの部分が2xに置き換わっているんだな、ということがわかります。
この「置き換える」という作業こそが、「代入」ということです。
今回は、xに2xを代入しました。それが代入するのはzでもいいし、aでもいいし、f(x)でも構いません。
ただし、１つ注意があります。「置き換えた後も、計算のルールは変えてはいけない」ということです。

例えば、
f(x)=x^2+5x+6
があったとします。
このxに３を代入することを考えますと、特に何も考えなくても
f(3)=3^2+5*3+6=30
とできるかもしれませんね。でもなんでこうできるんでしょうか？
それは、f(x)が
f(x)=x*x+5*x+6
という、掛け算と足し算のルールにより成り立っており
このxに3を代入するという行為は、
f(x)=x*x+5*x+6
の全てのxと3を置き換えるという行為だと解釈できるからです。

ここで、g(z)=2z-3として、これをf(x)に代入することを考えます。
上の話でいうなら、
f(x)=x*x+5*x+6
のxを全てg(z)に置き換えればいいわけです。
よって、
f(g(z))=g(z)*g(z)+5*g(z)+6
となりますね。
で、g(z)=2z-3ということはg(z)と2z-3を入れ替えてもいいわけですから
f(g(z))=f(2z-3)=(2z-3)*(2z-3)+5*(2z-3)+6
となり、あとはこれを展開すればf(g(z))を得ることができます。

参考になれば幸いです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

目から鱗が落ちました！

「何となく解ったつもり」から、「良く解った」状況になりました。

本当に、ありがとうございました。感謝いたします m(_ _)m

お礼日時：2011/02/10 22:27

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2011/02/10 21:42

考え方も何も、代入して計算するだけ。

考える部分は、ほとんど無い。
もしかしたら、
f(x) と g(x) で同じ x を使っているから混乱するのかもしれない。

関数の引数は、別の文字を使っても意味が変わらないから、
f(y) = y - 5,
g(z) = 2z - 3　と変えてみる。
f(g(x)) を求めるときには、y = g(x) を代入すればよいし、
g(f(x)) を求めるときには、z = f(x) を代入すればよい。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

変に考えるよりも、単純に代入するだけで問題ないということが
理解できました。

ありがとうございました。

お礼日時：2011/02/11 08:33

No.3 回答者： Knotopolog 回答日時： 2011/02/10 20:12

　ｆ（ｘ） ＝ ｘ － ５

　ｇ（ｘ） ＝ ２ｘ － ３

から，ｆ（ｇ（ｘ））とｇ（ｆ（ｘ））を計算すると以下の通りです．

　ｆ（ｇ（ｘ））＝ｇ（ｘ）－５＝２ｘ－３－５＝２ｘ－８

　ｇ（ｆ（ｘ））＝２ｆ（ｘ）－３＝２(ｘ－５)－３＝
　　＝２ｘ－１０－３＝２ｘ－１３
　
です．つまり，ｆ（ｇ（ｘ））は，ｆ（ｘ）の ｘ にｇ（ｘ）の
２ｘ － ３を入れると言うことです．　ｇ（ｆ（ｘ））も同様です．

言い換えますと，　ｆ（ｇ（ｘ））は，ｆ（ｘ）のｘをｇ（ｘ）
で置き換える，と言うことです．

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

ｆ（ｇ（ｘ））は、ｆ（ｘ）のｘにｇ（ｘ）を代入する、
つまり、関数ｆ（ｘ）のｘに関数ｇ（ｘ）を代入する
ところまでは解りましたが、
外側（？）の関数ｆ（ｘ）と、内側（？）の関数ｇ（ｘ）
との「関係」が解りません。・・・つまり、登場してくる
関数たちの「関係」が解っていません。

それゆえ、ANo.1で例示に用いられた
ｈ（ｇ（ｆ（ｘ）））のような、多重化（？）された
関数の「解読」ができない状態です。

自分のセンスの無さに辟易してしまいます・・・。

お礼日時：2011/02/10 21:23

No.2 回答者： tomokoich 回答日時： 2011/02/10 15:53

すみません最後の段落のはかえってややこしくなっちゃいましたね。

ようは関数がどのようなものでもxのところに合成させる関数を対応させればいいということでして
y=f(x)とy=g(x)という2つの関数において新しい関数y=f(g(x))を作るということです
f(x)のxをg(x)に置き換えていますので質問者さまのf(x)=x-5という関数のxの部分をg(x)の関数に置き換えて新しいf(g(x))を作りましょうということです

だからf(g(x))=g(x)-5になってg(x)＝2x-3なので
f(g(x))=(2x-3)-5=2x-8になっています

この回答へのお礼

補足のご説明ありがとうございます。

そもそも考え方が理解できていません。

関数に別の関数を代入するんだろうなぁ、
とは思うんですが、その先の展開の仕方が
理解できていません。

お礼日時：2011/02/10 17:54

No.1 回答者： tomokoich 回答日時： 2011/02/10 14:35

f(g(x))なら関数f(x)=x-5のxのところにg(x)=2x-3を代入していますのでそのまま

f(g(x))=g(x)-5=(2x-3)-5
になっています
逆だと
g(f(x))ならg(x)=2x-3のxのところにf(x)=x-5を代入するので
g(f(x))=2×f(x)-3=2×(x-5)-3=2x-13
になります


これに例えばh(x)=7x^2-4x+3の関数と上で求めたg(f(x))を合成させると
h(g(f(x)))=7×(g(f(x)))^2-4(g(f(x))+3
としてxに2x-13を代入すればいいわけです
=7×(2x-13)^2-4×(2x-13)+3

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

正直なところ、ご回答の内容が理解できていません。
　ｈ（ｇ（ｆ（ｘ）））　・・・？？？

自分のアタマの悪さにうんざりしてしまいます。

「考え方」が理解できていない、というのが現状です。

お礼日時：2011/02/10 15:28