極形式のコーシー・リーマンの関係式

極形式で表した複素数 z = r exp( iθ )

極形式で表した複素関数 f(z) = R(r,θ) exp( iΘ(r,θ) )

において

{ f(z) - f(z0) } / ( z - z0 )　・・・＊

の極限(z→z0)を ( r 一定)と( θ 一定)でそれぞれ調べることにより、極形式におけるコーシー・リーマンの関係式が

r ・∂R/∂r = R・∂Θ/∂θ
　
　∂R/∂θ = - rR・∂Θ/∂ｒ

を示せ。という問題なのですが、＊の式に極形式のf(z), f(z0), z, z0をそれぞれ代入して

r 一定のときは

[ R(r0,θ0+h) exp{iΘ(r0,θ0+h)} - R(r0,θ0) exp{iΘ(r0,θ0)} ] / {r0 exp(iθ0) (exp(ih)-1)}　・・・(1)

となり、θ一定のときは

[ R(r0+k,θ0) exp{iΘ(r0+k,θ0)} - R(r0,θ0) exp{iΘ(ｒ0,θ0)} ] / (k exp(iθ0))　・・・(2)

となることは代入だけなのでわかるのですが、これらの式で h , k を0にする極限をとったとき、

(1)→　{ (1/ir0) ∂R(r0,θ0) / ∂θ + (1/r0) R(r0,θ0) ∂Θ(r0,θ0) / ∂θ }exp(iΘ(r0,θ0) exp(-iθ)

(2)→　{∂R(r0,θ0) / ∂r + iR(r0,θ0) ∂Θ(r0,θ0) / ∂r }exp(iΘ(r0,θ0)) exp(-iθ)

となるところがわかりません。これが示せれば後は両者の実数部と虚数部が等しくなることから極形式のコーシー・リーマンの関係式が導けるのですが。

No.2 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2011/03/20 23:45

f(r,θ)=R(r,θ)exp(iΘ(r,θ))　 ( = f(z))

とすれば、(2)は
[f(r0+k,θ0)-f(r0,θ0)]/(kexp(iθ0))
となること
∂f/∂r は lim(f(r0+k,θ)-f(r0,θ0))/kと定義されていること

この2点は大丈夫ですか？

これでも分からないのなら、どこで躓いているのか分かりませんが、微分(or偏微分)の定義を見直すのがいいのかもしれません。

この回答への補足

それらの点は大丈夫です。

補足日時：2011/03/21 06:45

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2011/03/21 15:04

#2に書いた事を使えば、(2)式が

∂f/∂r exp(-iθ_0)になって、これにf=Rexp(iΘ)を代入すれば
#1に書いた形になるのですが、この過程のどの部分が分からないのでしょう？

それとも#1に書いた形の後の変形が分からないという事？

この回答への補足

回答ありがとうございます。
段階的に説明されたらわかりました。
「極限をとる」というところからRとΘの偏微分を出していかなければならない、
という点にとらわれすぎていて混乱してしまっていたみたいです。

補足日時：2011/03/21 23:48

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2011/03/20 00:18

例えば、(2)でh→0の極限をとった場合、微分の定義から

∂(Rexp(iΘ))/∂r exp(-iθ_0)
になってる事は分かるんでしょうか。

この回答への補足

わからないです（＞＜）

補足日時：2011/03/20 22:53