微分について

yをxで微分するとき、dy/dxと書きますよね。そして「ディーワイ、ディーエックス」と発音します。
これは「ディーエックスのディーワイ」と分数のように発音してはいけないのでしょうか。
分数のように発音しないなら、厳密に言ってdy/dxは分数ではないということなのでしょうか？

また積分のとき置換積分などで
t=(x+1)＾2
とおいて
dt/dx=2(x+1)　　　－－(1)
となり、
dt=2(x+1)dx
というような変形をします。その際(1)式にdxをかけたという認識で厳密によろしいのでしょうか？
となるとdt/dxは分数ということになり、なぜ、わざわざ呼びなれた「ディーエックス分のディーティ」と
分数のように呼ばず、「ディーティ、ディーエックス」と呼ぶのでしょうか？

一般論としてではなく、厳密な数学的な意味を教えてくださればうれしいです。
ちなみに高校時代の先生は分数のように発音していました。

No.9 ベストアンサー 回答者： ringohatimitu 回答日時： 2011/03/20 15:56

色々な方が回答していますが参考までに私も。

。。


＞＞これは「ディーエックスのディーワイ」と分数のように発音してはいけないのでしょうか。

この質問についてですが自分の経験上分数のように発音してる人の方が圧倒的に多いかと思います。
英語発音ですがこれまで接したアメリカ人の数学者は「dy by dx」や「dy over dx」、また両辺をdxで割って「divide both sides by dx」と言ったりしてる人が多かったように記憶してます。

「分数」という言葉でどんな演算を想定してるかということが問題でしょう（１変数なので約分くらいしかないように思いますが）。Δy/Δxという分数の極限だから分数として扱えるという認識で正しいし十分だと思います。極限を取る前は微分にしても積分にしても単なる分数、掛け算、足し算ですよね？これに極限を付け足しても四則演算の整合性が取れているというのが正しい認識かと思います。（というかこの認識ほど微分で重要なものはないし微分も積分も極限を取る前の形で考えることが凄く大事、、、ここに解析学のアイデアがすべて詰まっていると言っても過言ではないくらい）。

記号に関して気になる気持ちがよく分かりますが後々どうでもよくなるだろうと予想されます---ただ正しく計算出来ればいい、こういった形式についての議論よりε-δなどの極限をしっかり掴む事のほうがよっぽど数学において重要。
一つ注意する必要があるとすればどの変数が互いに関わり合っているかを正しく認識していないと「d」を作用させるときに間違える可能性があります。多変数関数の微分を考えるときによく誤解を起こす例が合成関数の微分(chain rule)です。

微分形式とか一応記号に意味を持たせる理論はあります。しかしそれは最初に微分係数という極限を使った定義があって後付で代数的な立場（テンソル代数など）から整合性をとる形（少々言い方が悪いかもしれませんが）で発展してきたものに過ぎません。dxやdyで代数的にいくら遊んでも合成関数の微分公式が得られるわけでもありません。結局微分係数の定義の極限に戻って計算するより他無いのです。

この回答へのお礼

定義に立ち返って極限で考えてみるともともと分数だったので、考え方としては微分も分数の仲間ということなのですね。私自身もっと勉強して、微分積分について詳しくなろうと本当に励まされました。
ご回答感謝します。どうもありがとうございました。

お礼日時：2011/03/20 16:37

No.11 回答者： hugen 回答日時： 2011/03/21 20:39

http://ja.wikisource.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90 …

この回答へのお礼

ためになるサイトを載せてくださりありがとうございます。
よく読んで参考にいたします。

お礼日時：2011/03/22 17:46

No.10 回答者： thegenus 回答日時： 2011/03/20 19:02

お礼ありがとうございます。

質問者さんは、高校の先生が分数と同じ読み方をしているのに、どこで「ディーティ、ディーエックス」になったんでしょうか。私などは高校の先生が「ディーティ、ディーエックス」で、大学の数学者は言葉を発しませんでしたからね。

「ディーティ、ディーエックス」は英語とも違うとなると、日本式なんですね。誰が始めたんでしょうかね。私の場合、大学までは先生も生徒も「ディーティ、ディーエックス」ばっかりでしたからね。高校での教育上、生まれたように思いましたが。分数にするとｄを約分するからでしょうか（笑）


厳密な数学的な意味は得られましたか。


私などはお役に立てませんでしたが、ぜひ数学を究めて下さい。

この回答へのお礼

励ましの言葉ありがとうございます。
なぜ呼び方の違いに気づいたかは先生が「ディーエックス　分の　ディーワイ」といっていたのに対して
教科書の中に「ディーワイ、ディーエックスと読む」とはっきり書かれていたからです。
その先生は結構いい難関大学を出ていたせいか、教科書はほとんど使わず、自分の頭の中のノートを使って授業していました。もしかしたら、その先生も高校（大学？）時代、「ディーエックス　分の　ディーワイ」と習っていたのかもしれませんね。（笑）

お礼日時：2011/03/20 21:58

No.8 回答者： thegenus 回答日時： 2011/03/20 13:34

高校程度の数学も出来ない私にも言論の自由があるので回答します。

質問者さんは発音を基準に議論されています。ここが論点になると思います。

実体験はありませんが、私のうろ覚えによれば、

英語では、分数を、上から読みます。それに尽きるんじゃないでしょうか？


あなたは日本語と英語を比較して違うと悩まれているのではないですかね。

英語もドイツ語も出来ない、日本語もあやしい私が、学生相手に、

「Do you know pH?」（ドゥ　ユウ　ノウ　ペーハー）と聞くような感じじゃないですかね。

英語なのかドイツ語なのかはっきりしない。

外国から輸入した学問ですから、日本語とは、語法が違います。

それを上手く誤魔化しながら利用したのが、微分記号を、上から読む習慣なのではないですか。習慣になったという話ですよ。


私ごときには、厳密に分数と違うのか、について議論できませんが、微分記号であって、他の変数とは約分できないわけですから、その意味では分数ではない、その区別が必要になりますよね。

厳密さにこだわる数学者が、英語読みをして、お役ごめんしたということだと思いました。

日本語における習慣の話ですから、読み方と、数学を、まとめて一緒に考えなくていいのではないでしょうか。

微分の生みの親であるニュートン大先生は、まるで違う記号でしたよね。あの頃は分数みたいに処理していたのかもしれません。ニュートンより賢いならともかく、私なんざ、記号も厳密さも、二の次のレベルですよ。数学の記号にアレルギーがあります。

この回答へのお礼

うろ覚えで間違っていたらすみませんが、そういえばライプニッツと違ってニュートンの微分の記号は変数の上に・（点）をつけるものだったようですね。ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2011/03/20 16:30

No.7 回答者： zux 回答日時： 2011/03/20 00:39

私の結論を言います

高校で数学を習ってる間に限定すれば
(高校の数学の先生にも酷いのはいますので
なんともいえませんけど)
dy/dxはあくまでも記号
dy/dxを分数だと主張したり
dy/dx = dy/du・du/dxを導くのに
これは分数だから当たり前
などといったら本当に馬鹿にされます
お前は高校で何を習ったんだと言われかねません

これが良い悪いはわかりませんが
高数での常識は
dy/dx は分数ではない
です


それとこの場を勝手に借りて

微分形式について少し調べてみました
こういう拡張というのか…すばらしいですね
高数が葦から天井を覗くようなものだというのも
なんだか納得できます
非常に参考になりました

この回答へのお礼

厳密な意味では分数とは言い切れないということですね。ただ分数としての意味もある程度持っているということなのではと思います。ご回答感謝します。

お礼日時：2011/03/20 16:25

No.6 回答者： zux 回答日時： 2011/03/19 23:54

私は高校程度しか扱えないので

本当に申し訳ないですけど

でもdy/dxは分数として考えてしまうと
それはそれで後々困ると聞きました


ただ
dy/dx=dy/du・du/dx
これの証明も分数から持ってきているから…
上手くいっていて当然なんでしょうが

でもdxを両辺にかける
というのは形式的に許される作業であって
それが分数だと完全に言い切れない限り
分数だといってはいけないのでは
(つまり分数とまったく同じ性質を持つことを
確かめもせずに分数として扱うのに
危険性があるような気がします)

結果的に表記が優れているだけ

結果論として分数的な演算が許されている

もしかしたら欠陥があるのでは？

高数ではこれ以上喋れませんが…

この回答へのお礼

分数か分数でないかいろいろ意見があるので、どれが正しいのか分からなくなってしまいましたが、総合すると高校の範囲では分数として、高校で習う以上の数学では分数ではないという認識でよろしいでしょうか。となるとやっぱりdy/dxは単なる数学記号ということになるのでしょうか？

お礼日時：2011/03/20 00:10

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2011/03/19 22:31

dy/dx は、外見どおり dy を dx で割ったもの。

分数ですから、
「ディーエックス ぶんの ディーワイ」と読んで全くかまいません。
Δy 割る Δx じゃないですよ。微分形式の比、dy 割る dx です。
もともと、こっちのほうが本来の形。
(d/dx)y という書き方は、あくまで dy/dx からの派生形です。

dy/dx を頭から順に読むときには、普通に
「ディーワイ バイ ディーエックス」と読みましょう。
「ディーワイ ディーエックス」と読んだのでは、
重積分の dy dx と区別がつきません。

置換積分についても、dt/dx は分数ですから、
(1) の両辺に dx を掛けて、dt = 2(x+1)dx とすればよいです。
これは、便宜上のことではなく、正しい微分形式の計算です。

高校範囲では、微分形式について習いませんから、
∫f(t)dt = ∫f( (x+1)^2 )・2(x+1)dx なども
∫f(t)dt = ∫f(t)・(dt/dx)dx などを経由して、技巧的に処理する
ことになります。つまらない小細工ですが、
数III の範囲で置換積分を扱うためには、しかたがありません。

尚、No.3 への補足に気になる記述があります。
dx や dy に「0 に近い」とか「小さい」とかいう意味はありません。
dy・h と Δy・h が、h が小さいときに近似するというだけです。
小さくして考えるのは、dy や Δy ではなく、
それらに掛ける係数 hのほうです。

この回答へのお礼

dy/dxはやっぱり分数としてみても理論上はよいのですね。
一次関数で
ｙの増加量/ｘの増加量=傾き
を思い出しました。
dy/dxも比ということなので一次関数の傾きの考え方と同じだという認識でよいのですね。
とても参考になりました。ご回答本当にありがとうございました。

お礼日時：2011/03/19 22:47

No.4 回答者： puusannya 回答日時： 2011/03/19 19:12

ｄｙ／ｄｘは本来ｄ／ｄｘが始まりで、だから（ｄ／ｄｘ）ｆ(ｘ)という書き方ができたのではありませんか。

ｘで微分するという意味を持つ形がｄ／ｘｄで、ｙを微分するなら（ｄ／ｄｘ）ｙと書くのが本来の姿ではないのでしょうか。
それをｄｙ／ｄｘとも書くということにしたため、分数のように見えてしまったのではありませんか。
決して分数ではありません。

単純な例で申し訳ありませんが、ｙ＝ｘ＾２を考えて見ます。
ｄｙ／ｄｘ＝２ｘ　で　∫（ｄｙ／ｄｘ）ｄｘ　すなわち　ｘで微分した式をｘで積分するというときには　∫２ｘｄｘ　ですから＝ｘ＾２になります。微分する前の式に戻ります。（積分定数は省略してありますが。）
これを（ｄｙ／ｄｘ）ｄｘ＝ｄｙ　と分数のように考えて　∫（ｄｙ／ｄｘ）ｄｘ＝∫ｄｙ　としても同じ答えが出ます。＝ｙ＝ｘ＾２　です。

決して分数計算をしたわけではないのですが、まるで分数計算をしたかのような変形をしても同じ答えが出せるので、便利に利用しているのです。

この回答へのお礼

なるほど！！分数計算をしたかのような便法を使って、置換積分をしていたのですね。大変勉強になりました。ありがとうございます。

お礼日時：2011/03/19 21:21

No.3 回答者： zux 回答日時： 2011/03/19 19:08

dy/dxはyのxに関する導関数ですよ?

y=f(x)とあらわせるときなら
f'(x)のことです

表記が違うだけですが…

もう少しわからないところを
しっかり説明お願いします

この回答へのお礼

きちんと説明できなくてすみません。私の考え（間違っていると確信しているのですが）では、
微分の定義として、よく最初に出てくくるf'(x)=dy/dx=lim(Δx->0)Δｙ/ΔｘでΔy/Δxは分数ですよね。
そこでdy/dxも
０に限りなく近いｄｙ　割る　０に限りなく近いｄｘ
と分数を意味しているのではないかと推測していたのです。
でもdy/dxが分数でないのですから、dy/dxは単なる表記上の問題でｙをxで微分するための数学記号のようなものという認識でよろしいのでしょうか？

お礼日時：2011/03/19 21:43

No.2 回答者： zux 回答日時： 2011/03/19 18:11

重ねてすみません

分数的に発音するのはNGです