ちくのう症(蓄膿症)は「菌」が原因!?

1次変換
A=(1      -α)
(β   √3・γ)
によって楕円3x^2+9y^2=1を原点を中心とする半径1の円になるとき
α,β,γを求めよ。ただしα、β、γは正の実数とする。

という問題です。

(X,Y)を変換後の座標としますと、X^2+Y^2=1・・(1)が成り立ちます。
又、楕円は(1/√3 , 0) (0 , 1/3)を通りますので
(X,Y)=(1/√3 , 1/√3・β)   ・・(2)
(X,Y)=(α/3 ,√3・γ/3)    ・・(3)
が成り立ちます。
(2)を(1)に代入しβ=√2を導出することはできたのですが、(3)を(1)に代入したところで詰まってしまいました。
ご回答よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

(2),(3)から


(1/√3)^2+(1/√3・β)^2=1
(α/3)^2+(√3・γ/3)^2=1
の2つの式が得られますが、未知数は3つあるのでもう1つ式が必要です。

3x^2+9y^2=1を満たすもう1つの点(1/√6 , 1/(3√2))から、変換後の(X,Y)を求めて、
X^2+Y^2=1
に代入すれば、3番目の式が得られます。
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2次形式の係数行列が等しくなるようにしてもいいでしょう。


A' A
=
3 0
0 9
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この楕円を、媒介変数θを使った方程式で表すと、


x = cosθ/√3, y = sinθ/3 ですから、

X = x-αy = cosθ/√3 - αsinθ/3
Y = βx + √3・γy = βcosθ/√3 + γsinθ/√3

これを、X^2 + Y^2 = 1 に代入して、恒等式になるのは、

(cosθ)^2 と (sinθ)^2 の係数が1、
cosθsinθ の係数が0 になるとき、

これから、未知数3個の方程式が3つ
出てくるので、連立方程式として解けば、いいのでは?
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