3次方程式は3つの整数解をもちf(n)+p=0

3次方程式
f(x)=x^3+ax^2+bx+c=0
は相異なる3つの整数解をもち，ある整数 n とある素数 p に対して，
f(n)+p=0
が成り立つとき，次の問いに答えよ．

(1) a,b,c を n,p で表せ．
(答)a=-3n+p, b=3n^2-2pn-1, c=-n^3+pn^2+n-p

(2) a,b,c の関係式を求めよ．
(答)4a^4-a^2b^2+4a^3c-24a^2b+4b^3-18abc-32a^2+36b^2+27c^2+96b+64=0

整数という条件と素数という条件をどう活用して解くのかわかりません。

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2011/04/17 17:26

A No.1 に書かれてあるように、

f(n) = (n-α)(n-β)(n-γ) = -p
と変形すればよいのだろうと思う。
n-α, n-β, n-γ はどれも整数だから、
掛けて -p になるためには、
絶対値が 1, 1, p と決まる。p は素数だからね。
±1, ±1, ±p の中から各数の正負を決めるのだが、
n-α, n-β, n-γ が異なる三数であることと、
三つ掛けた積が負であることから、
n-α, n-β, n-γ は 1, -1, p であると解る。
あとは、解と係数の関係を使って、
a, b, c を α, β, γ で表せば、
一つめの問題が解ける。
三つの解のどれがαでβでγかは、
解と係数の関係の対称性から、気にする必要がない。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

(2)は(1)の式からp,nを消去すればよいのですね。

お礼日時：2011/04/17 23:23

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2011/04/18 00:03

その通り。

n-α, n-β, n-γ = -1, -1, -p という不適解が出てこないように
α, β, γ が異なるという条件を使えれば、後は一本道だと思う。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2011/04/19 23:27

No.2 回答者： noname#133363 回答日時： 2011/04/17 16:30

前の回答で変な箇所あり。

「f(n)/p=mとすると」
は無視してください。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

分かりました。

お礼日時：2011/04/17 23:25

No.1 回答者： noname#133363 回答日時： 2011/04/17 15:55

それらの条件は、f(n)がpで割りきれる、という形で活用するんじゃないでしょーか。

3つの解をα、β、γとすると
f(n)=(n-α)(n-β)(n-γ)=-p。
f(n)/p=mとすると一般性を失わずに
n-α=mp、
m(n-β)(n-γ)=-1。
異なる解という条件から一般性を失わずに
m=1、n-β=1、n-γ=-1。
で、α、β、γをn、pで表す、という感じかな...。
解と係数の関係は使ってもOK?

この回答へのお礼

ありがとうございます。

素数の活用が分かりました。

お礼日時：2011/04/17 23:25