3次方程式
f(x)=x^3+ax^2+bx+c=0
は相異なる3つの整数解をもち,ある整数 n とある素数 p に対して,
f(n)+p=0
が成り立つとき,次の問いに答えよ.

(1) a,b,c を n,p で表せ.
(答)a=-3n+p, b=3n^2-2pn-1, c=-n^3+pn^2+n-p

(2) a,b,c の関係式を求めよ.
(答)4a^4-a^2b^2+4a^3c-24a^2b+4b^3-18abc-32a^2+36b^2+27c^2+96b+64=0

整数という条件と素数という条件をどう活用して解くのかわかりません。

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A 回答 (4件)

A No.1 に書かれてあるように、


f(n) = (n-α)(n-β)(n-γ) = -p
と変形すればよいのだろうと思う。
n-α, n-β, n-γ はどれも整数だから、
掛けて -p になるためには、
絶対値が 1, 1, p と決まる。p は素数だからね。
±1, ±1, ±p の中から各数の正負を決めるのだが、
n-α, n-β, n-γ が異なる三数であることと、
三つ掛けた積が負であることから、
n-α, n-β, n-γ は 1, -1, p であると解る。
あとは、解と係数の関係を使って、
a, b, c を α, β, γ で表せば、
一つめの問題が解ける。
三つの解のどれがαでβでγかは、
解と係数の関係の対称性から、気にする必要がない。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

(2)は(1)の式からp,nを消去すればよいのですね。

お礼日時:2011/04/17 23:23

その通り。


n-α, n-β, n-γ = -1, -1, -p という不適解が出てこないように
α, β, γ が異なるという条件を使えれば、後は一本道だと思う。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2011/04/19 23:27

前の回答で変な箇所あり。


「f(n)/p=mとすると」
は無視してください。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

分かりました。

お礼日時:2011/04/17 23:25

それらの条件は、f(n)がpで割りきれる、という形で活用するんじゃないでしょーか。



3つの解をα、β、γとすると
f(n)=(n-α)(n-β)(n-γ)=-p。
f(n)/p=mとすると一般性を失わずに
n-α=mp、
m(n-β)(n-γ)=-1。
異なる解という条件から一般性を失わずに
m=1、n-β=1、n-γ=-1。
で、α、β、γをn、pで表す、という感じかな...。
解と係数の関係は使ってもOK?
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

素数の活用が分かりました。

お礼日時:2011/04/17 23:25

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http://www.geocities.co.jp/Foodpia/2035/study/access/kihon/exp02_02.htm

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右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

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↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
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参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf

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【結論】
最大公約数が1であるとき、二つの整数は互いに素であるという。
【補足】
最大公約数(GCD:Greatest Common Divisor)とは、0ではない二つの整数に共通する約数のうち最大値をとるものを指します。
数学上では、二つの整数 a, b に対して、その最大公約数を『gcd(a, b)』と表記することが多い。
但し、一方が0である場合、gcd(a, 0)=a として、最大公約数を決めるものとします。
【性質】
ユークリッドの互除法などにより、互いに素な二つの整数 x, y に対して、ax+by=1 を満たす整数 a, b が存在することは保証される。
------
まあ、要は「整数aと整数bが互いに素」とは『整数aと整数bの最大公約数が1である』ということを意味しています。
それ以上でもそれ以下でもありません。

こんな回答で良かったのでしょうか?元予備校講師的には、通常これ以上は説明不要である、と考えているのですが、一方、環やイデアルと言った論点の参考にするには、あまりにも足りません。
その辺は何卒ご了承下さい。m(_ _)m

参考URLは百科事典ウィキペディア(Wikipedia)の整数のページです。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0

【結論】
最大公約数が1であるとき、二つの整数は互いに素であるという。
【補足】
最大公約数(GCD:Greatest Common Divisor)とは、0ではない二つの整数に共通する約数のうち最大値をとるものを指します。
数学上では、二つの整数 a, b に対して、その最大公約数を『gcd(a, b)』と表記することが多い。
但し、一方が0である場合、gcd(a, 0)=a として、最大公約数を決めるものとします。
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これを解けばaとbは求まる。
別解としてy=ax^2+bx+cの式を平方完成させて、そこから連立方程式を得るというアプローチも考えられる。

この程度の問題は人に聞かずに解けるようにしておきたい。
でないと模擬試験で困るはず。
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