フーリエ解析についての質問です

(sin(mω0t),sin(nω0t))=δmn
(sin(mω0t),cos(nω0t))=0

を証明せよという問題です
どうぞよろしくお願いしますm(__)m

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A 回答 (2件)

問題として、いくつかの前提条件がぬけていますが、


適当に補うことにしましょう。

内積の計算をするのだと思います。
T=ω0/2πとして、
区間[-T/2,T/2]で関数f(t)とg(t)の内積を
(f,g)=(2/T)∫[-T/2,T/2]f(t)g(t)dt
と定義されているとしましょう。

I=(2/T)∫[-T/2,T/2]sin(mω0t)×cos(nω0t)dt

三角関数の加法定理を使って、
sin(mω0t)×cos(nω0t)=(1/2){sin((m+n)ω0t)+sin((m-n)ω0t)}
ですから、m,n>0として
I=(2/T)∫[-T/2,T/2]sin((m+n)ω0t)dt+(1/2)∫[-T/2,T/2]sin((m-n)ω0t)dt
=0

J=(2/T)∫[-T/2,T/2]sin(mω0t)×sin(nω0t)dt

これも加法定理を使って、
sin(mω0t)×sin(nω0t)=(1/2){cos((m-n)ω0t)-cos((m+n)ω0t)}
J=(2/T)(1/2){∫[-T/2,T/2]cos((m-n)ω0t)dt-∫[-T/2,T/2]cos((m+n)ω0t)dt}
m,n>0として、第2項はただちに0です。第1項はm≒nなら0です。
m=nのときには、
J=(1/T)∫[-T/2,T/2]cos((m-n)ω0t)dt=(1/T)∫[-T/2,T/2]1dt=T/T=1

このように内積の定義が、積分に係数(2/T)を掛けるようになっていれば、
あなたの問題の通りになります。(普通ではありませんが)
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(sin(mω0t),sin(nω0t)) や (sin(mω0t),cos(nω0t) を定義してください.

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