余弦定理を利用して、式変換を行いたいのですが、わかりません。

x = l1 * cos q1 + l2 * cos (q1 + q2)
y = l1 * sin q1 + l2 * sin (q1 + q2)

この2式において、余弦定理を適用して、次式を得たいのです。

q1 = tan^(-1) (y/x) - cos^(-1) ( (x^2 + y^2 + l1^2 - l2^2) / (2 * sqt(x^2 + y^2) * l1) )
q2 = cos^(-1) ( (x^2 + y^2 - l1^2 - l2^2) / (2 * l1 * l2) )

どなたか導出の過程を教えてください><

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A 回答 (4件)

 #2です。

お礼をありがとうございます。
 まずは、また添付図に誤記がありましたので訂正させてください。
 q2の角度ですが、これは∠BACではなく、∠Cの外角です。
 度々の誤記ですみません。

 さて、q1の導出ですが、x、y、√(x^2+y^2) を3辺とする直角三角形の直角となる頂点を点Dとしますと、 ∠ABD=arctan(y/x) ですから、 ∠ABC=∠ABD-∠CBD=arctan(y/x)-q1 になります。
 ここで∠ABCについて余弦定理を使うと、
  CA^2=AB^2+BC^2-2AB・BCcos∠ABC
ですので、これに値を代入すれば求められます。
  L2^2=(x^2+y^2)+L1^2-2√(x^2+y^2)*L1*cos{arctan(y/x)-q1}
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この回答へのお礼

ありがとうございます!
おかげさまでできました!

でも初歩的過ぎることがわかっていないみたいです。
差支えなければ教えて頂いてもいいですか?
∠ABD=arctan(y/x)

CA^2=AB^2+BC^2-2AB・BCcos∠ABC
の意味といいますか、成り立ちがわかりません><

お礼日時:2011/04/25 07:29

 #2です。


 添付図に誤記がありましたので、訂正します。

 斜辺の √(l1^2+l2^2) の部分を √(x^2+y^2) に置き換えて下さい。
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 添付図の△ABCで余弦定理を使われてはいかがでしょうか。



 q2はそのまま余弦定理で求められます。
 q1は arctan(y/x)-q1 で余弦定理を使えば求められます。
「余弦定理を利用して式変換をする」の回答画像2
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!
q1の導出がよくわからないんですが、
もう少し詳細をお願いしてもいいですか?><

お礼日時:2011/04/23 23:01

[作図]


斜辺長 L1, L2 の二つの直角三角形 T1, T2 を想定し、その一角が q1, q1 + q2 > q1 とする。
T1, T2 を積み上げてできる凹四辺形の凸対 2 頂点を直線で結び、三角形 T とする。
凸対 2 頂点間の長さを L とすると、それに対する凹四辺形の二辺 L1, L2 のなす角は π- q2 。

三角形 T でのピタゴラス。
 L^2 = x^2 + y^2

ここで余弦定理の出番。
 L^2 = L1^2 + L2^2 - 2*L1*L2*cos(π- q2)
    = L1^2 + L2^2 + 2*L1*L2*cos(q2)

これらから、cos(q2) を勘定できる…みたいなストーリーでしょうか。
   
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!
おかげさまでq2を導出できました!!

お礼日時:2011/04/23 22:58

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Q中学数学 三角形の面積の求め方と三平方の定理

三平方の定理を使った、三角形の面積の求め方について教えてください。

一辺が6cm、の正三角形の面積を求める場合、
真ん中に垂直に線ABを引いて(直角三角形が2つ)と考え、三平方の定理に当てはめると、
3の2乗+線ABの2乗=6の2乗になり、線AB=3√3になる。
三角形の面積は底辺×高さ÷2なので、6×3√3÷2になり、
面積は9√3cm2になるという問題で疑問があります。

三角形の面積は底辺×高さ÷2なので、単純に6×6÷2=18cm2ではないのですか?
直角三角形も、2等辺三角形も、正三角形も、
どんな三角形でもこのやり方で計算が出来たと思うのですが、
9√3と、18と答えが違うのはどうしてでしょうか。
9√3=√27で、18は=324になるので、9√3=18ではないですよね。

同じやり方で円錐の体積を求める計算があるのですが、同じようになってしまいます。
何か思い違いがあるのだと思いますが、何を思い違いしているのかわかりません。
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『三角形の面積は底辺×高さ÷2なので、単純に6×6÷2』
あなたは、正三角形の高さをどうやって求めましたか?
チョット紙に書いてみるだけでも、頂点から垂線を降ろさなければ高さは分からないですよね。
6cmは高さで無くて、一辺の長さですから、あなたはそこを勘違いしています。
直角三角形なら一辺を高さと見なせますが、直角を持たない場合は直角を作り出す作業が必要に成ります。
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Q平均変化率がわかりません。 関数f(x)=-3x+1のx=0からx=3までの平均変化率 関数f(x)

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1) f(x)=-3x+1
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>外積=ベクトルなんでしょうか?
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外積と呼ばずに「ベクトル積」と呼べ(覚えれ)ば、誤解しなかったですね。
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参考URL:http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/mathFormula/html/node63.html

Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = l...続きを読む

Q三角形の面積の求めかた

友人に頼まれ、問題を解いたのですが答えがあっているのかいまいち自信が持てません。
間違った答えを教えるのも心苦しいので、こちらで数学の得意な方に答えあわせをしていただければと思い質問を立てました。

図が表示できないので少し面倒かもしれませんが、助けてくださると嬉しいですm(_ _)m
よろしくお願いいたします


三角形ABCにおいて、AB=2√3、∠A=75°、∠B=45°である。
また、頂点Aから辺BCに引いた垂線がBCと交わる点をHとする。
この時三角形ABCの面積を求めなさい。


私は三角形ABHと三角形AHCの面積をそれぞれ求め、
三角形ABCの面積は 3+√3 になりました。

Aベストアンサー

三角形ABHの面積は
(1/2) × AH × BH
=(1/2) × √6 × √6
=3

三角形ABCの面積は
(1/2) × CH × AH
=(1/2) × √2 × √6
=√3

三角形ABCの面積は3 + √3であっています。

Q四面体における余弦定理(三角形の余弦定理の拡張)

http://homepage2.nifty.com/PAF00305/math/triangle/node7.html
によると、

四面体の各面を0,1,2,3とし,面iの面積T[i]を,面i,jのなす角をθ[i,j]とすると

T[1]^2+T[2]^2+T[3]^2-T[0]^2
= 2(T[2]T[3]cosθ[2,3]+T[3]T[1]cosθ[3,1]+T[1]T[2]cosθ[1,2])

などが成り立つということですが、三角形のときの余弦定理を使って証明しようとしましたが、うまくいきません。

証明できた方がいらっしゃればどうか教えてください。

Aベストアンサー

下記URLに証明があるようです。

参考URL:http://www25.tok2.com/home/toretate/cos012.html

Q三角形の3辺だけ長さが分かってる時に面積を求める公式は?

三角形の3辺だけ長さが分かってる時に面積を求める公式は?

例えば画像で
三角形BCDの面積求まりますか?
低次元な質問ですみません。

Aベストアンサー

s=(a+b+c)/2 とすると

面積=√(s(s-a)(s-b)(s-c))

詳細は「ヘロンの公式」で検索してみてください。

Q(i)spanX=V ならば x∈V,x=Σ[i=1..n](xi),(ii)x∈V,∥x∥^2=Σ[i=1..n]||^2ならばXは完

お世話になっています。

[Q]X={x1,x2,…,xn}を内積空間Vの正規直交集合とせよ。この時,次の(i),(ii)を示せ。
(i)spanX=V ならば x∈V,x=Σ[i=1..n](<x,xi>xi)
(ii)x∈V,∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2ならばXは完全

完全の定義は「正規直交集合Xが完全とはVの中での最大個数の正規直交集合の時,Xを
完全と言う」です。
つまり,#X=max{#S∈N;(V⊃)Sが正規直交集合}を意味します。

証明で行き詰まっています。

(i)については
x∈Vを採ると,spanX=Vよりx=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。
これからΣ[i=1..n](<x,xi>xi)にどうやって持ってけばいいのでしょうか?

あと,(ii)についてはさっぱりわかりません。
何か助け舟をお願い致します。

Aベストアンサー

>x=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。
<xi,x>を計算すれば終わり

>(ii)についてはさっぱりわかりません
「任意の」x∈Vに対して
∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2
ならばXは完全

x1,...,xnとは異なるyをとり,
x1,...,xn,yが正規直交であると仮定する.
||y||^2 = Σ[i=1..n]|<y,xi>|^2を計算すれば
矛盾がでてくる.

Qこの三角形の面積を求める問題を教えてください。

この三角形の面積を求める問題を教えてください。
問題は
円X^2+y^2=1と点(-2、0)を通る直線との二つの交点をP,Qとする。B(1、0)として、
三角形BPQの面積の最大値を求めよ。
です。
僕はまずP,Qの座標を文字に置いて三角形BPQの面積を求め、微分しようとしたんですが計算量が膨大になってしまいました。
P,Qの座標をそれぞれ文字に置くのではなく、もっと何かいい方法があるのではないかと思いました。
何かヒントはありませんか?

Aベストアンサー

計算ミスを誘発する問題ですね。

まず、ANo.3氏
解と係数の和のところがケアレスミス。p+q=-4m^2/(1+m^2)

単位円とy軸との交点をC(0,1)とおき、
直線ACとの交点で面積を考えると、P(-4/5,3/5), Q(0,1), B(1,0) だから、
面積S=(1/2)3(1-3/5)=3/5=0.6
したがって、面積の最大値Smは少なくとも, Sm≧0.6
なので、ANo.5氏の(√2)/8 も誤り。

ANo.4氏の最大面積1/4 も誤り。

そこで、1つずつ確認しましょう。

面積の式は、直線の傾きをm とすると、
ANo.2氏の考えで、
S=(1/2)3{m(β+2)-m(α+2)}  ただし、β>α
=(1/2)3m(β-α)

(β-α)^2
=(α+β)^2-4αβ
={-4m^2/(m^2+1)}^2-4{(4m^2-1)/(m^2+1)}
=4(1-3m^2)/(m^2+1)^2

β-α=2√(1-3m^2)/(m^2+1)

したがって、
S=(3m/2)2√(1-3m^2)/(m^2+1)
 =3m√(1-3m^2)/(m^2+1)

S^2=9m^2(1-3m^2)/(m^2+1)^2

m^2=u とおけば、
S^2=9u(1-3u)/(u+1)^2

これで、極値を求めると、u=1/7
0<u<1/3 を満たしている。
したがって、
  m=±1/(√7)

面積の最大値は、S_max=3/4

計算ミスを誘発する問題ですね。

まず、ANo.3氏
解と係数の和のところがケアレスミス。p+q=-4m^2/(1+m^2)

単位円とy軸との交点をC(0,1)とおき、
直線ACとの交点で面積を考えると、P(-4/5,3/5), Q(0,1), B(1,0) だから、
面積S=(1/2)3(1-3/5)=3/5=0.6
したがって、面積の最大値Smは少なくとも, Sm≧0.6
なので、ANo.5氏の(√2)/8 も誤り。

ANo.4氏の最大面積1/4 も誤り。

そこで、1つずつ確認しましょう。

面積の式は、直線の傾きをm とすると、
ANo.2氏の考えで、
S=(1/2)3{m(β+2)-m(α+2)}  ただし...続きを読む

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.


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