余弦定理を利用して、式変換を行いたいのですが、わかりません。

x = l1 * cos q1 + l2 * cos (q1 + q2)
y = l1 * sin q1 + l2 * sin (q1 + q2)

この2式において、余弦定理を適用して、次式を得たいのです。

q1 = tan^(-1) (y/x) - cos^(-1) ( (x^2 + y^2 + l1^2 - l2^2) / (2 * sqt(x^2 + y^2) * l1) )
q2 = cos^(-1) ( (x^2 + y^2 - l1^2 - l2^2) / (2 * l1 * l2) )

どなたか導出の過程を教えてください><

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A 回答 (4件)

 #2です。

お礼をありがとうございます。
 まずは、また添付図に誤記がありましたので訂正させてください。
 q2の角度ですが、これは∠BACではなく、∠Cの外角です。
 度々の誤記ですみません。

 さて、q1の導出ですが、x、y、√(x^2+y^2) を3辺とする直角三角形の直角となる頂点を点Dとしますと、 ∠ABD=arctan(y/x) ですから、 ∠ABC=∠ABD-∠CBD=arctan(y/x)-q1 になります。
 ここで∠ABCについて余弦定理を使うと、
  CA^2=AB^2+BC^2-2AB・BCcos∠ABC
ですので、これに値を代入すれば求められます。
  L2^2=(x^2+y^2)+L1^2-2√(x^2+y^2)*L1*cos{arctan(y/x)-q1}
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この回答へのお礼

ありがとうございます!
おかげさまでできました!

でも初歩的過ぎることがわかっていないみたいです。
差支えなければ教えて頂いてもいいですか?
∠ABD=arctan(y/x)

CA^2=AB^2+BC^2-2AB・BCcos∠ABC
の意味といいますか、成り立ちがわかりません><

お礼日時:2011/04/25 07:29

 #2です。


 添付図に誤記がありましたので、訂正します。

 斜辺の √(l1^2+l2^2) の部分を √(x^2+y^2) に置き換えて下さい。
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 添付図の△ABCで余弦定理を使われてはいかがでしょうか。



 q2はそのまま余弦定理で求められます。
 q1は arctan(y/x)-q1 で余弦定理を使えば求められます。
「余弦定理を利用して式変換をする」の回答画像2
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!
q1の導出がよくわからないんですが、
もう少し詳細をお願いしてもいいですか?><

お礼日時:2011/04/23 23:01

[作図]


斜辺長 L1, L2 の二つの直角三角形 T1, T2 を想定し、その一角が q1, q1 + q2 > q1 とする。
T1, T2 を積み上げてできる凹四辺形の凸対 2 頂点を直線で結び、三角形 T とする。
凸対 2 頂点間の長さを L とすると、それに対する凹四辺形の二辺 L1, L2 のなす角は π- q2 。

三角形 T でのピタゴラス。
 L^2 = x^2 + y^2

ここで余弦定理の出番。
 L^2 = L1^2 + L2^2 - 2*L1*L2*cos(π- q2)
    = L1^2 + L2^2 + 2*L1*L2*cos(q2)

これらから、cos(q2) を勘定できる…みたいなストーリーでしょうか。
   
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!
おかげさまでq2を導出できました!!

お礼日時:2011/04/23 22:58

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